Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 x + 200}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 5 x + 200}$

Paso 1.2

Como el exponente $x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{x}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5 x + 200}$

Paso 1.3

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 x + 200} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [5 x + 200]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [5 x + 200]}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [5 x + 200]}$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x + 200$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [200]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [200]}$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Paso 3.4.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [200]}$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [200]}$

Paso 3.4.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 + \frac{d}{d x} [200]}$

Paso 3.5

Como $200$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $200$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 + 0}$

Paso 3.6

Suma $5$ y $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5}$

Paso 4

Como la función $e^{x}$ se acerca a $\infty$ , la constante positiva $\frac{1}{5}$ veces la función también se acerca a $\infty$ .

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Paso 4.1

Considera el límite con el múltiplo constante $\frac{1}{5}$ eliminado.

$lim_{x \to \infty} e^{x}$

Paso 4.2

Como el exponente $x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{x}$ se acerca a $\infty$ .

$\infty$