Cálculo Ejemplos

$lim_{t \to - 3} \frac{t^{3} - 4 t + 15}{t^{2} - t - 12}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{t \to - 3} t^{3} - 4 t + 15}{lim_{t \to - 3} t^{2} - t - 12}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $- 3$ .

$\frac{lim_{t \to - 3} t^{3} - lim_{t \to - 3} 4 t + lim_{t \to - 3} 15}{lim_{t \to - 3} t^{2} - t - 12}$

Paso 1.2.2

Mueve el exponente $3$ de $t^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{t \to - 3} t)}^{3} - lim_{t \to - 3} 4 t + lim_{t \to - 3} 15}{lim_{t \to - 3} t^{2} - t - 12}$

Paso 1.2.3

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$\frac{{(lim_{t \to - 3} t)}^{3} - 4 lim_{t \to - 3} t + lim_{t \to - 3} 15}{lim_{t \to - 3} t^{2} - t - 12}$

Paso 1.2.4

Evalúa el límite de $15$ que es constante cuando $t$ se acerca a $- 3$ .

$\frac{{(lim_{t \to - 3} t)}^{3} - 4 lim_{t \to - 3} t + 15}{lim_{t \to - 3} t^{2} - t - 12}$

Paso 1.2.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 3$ para todos los casos de $t$ .

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Paso 1.2.5.1

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $- 3$ para $t$ .

$\frac{{(- 3)}^{3} - 4 lim_{t \to - 3} t + 15}{lim_{t \to - 3} t^{2} - t - 12}$

Paso 1.2.5.2

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $- 3$ para $t$ .

$\frac{{(- 3)}^{3} - 4 \cdot - 3 + 15}{lim_{t \to - 3} t^{2} - t - 12}$

Paso 1.2.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.6.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{- 27 - 4 \cdot - 3 + 15}{lim_{t \to - 3} t^{2} - t - 12}$

Paso 1.2.6.1.2

Multiplica $- 4$ por $- 3$ .

$\frac{- 27 + 12 + 15}{lim_{t \to - 3} t^{2} - t - 12}$

Paso 1.2.6.2

Suma $- 27$ y $12$ .

$\frac{- 15 + 15}{lim_{t \to - 3} t^{2} - t - 12}$

Paso 1.2.6.3

Suma $- 15$ y $15$ .

$\frac{0}{lim_{t \to - 3} t^{2} - t - 12}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $- 3$ .

$\frac{0}{lim_{t \to - 3} t^{2} - lim_{t \to - 3} t - lim_{t \to - 3} 12}$

Paso 1.3.2

Mueve el exponente $2$ de $t^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{t \to - 3} t)}^{2} - lim_{t \to - 3} t - lim_{t \to - 3} 12}$

Paso 1.3.3

Evalúa el límite de $12$ que es constante cuando $t$ se acerca a $- 3$ .

$\frac{0}{{(lim_{t \to - 3} t)}^{2} - lim_{t \to - 3} t - 1 \cdot 12}$

Paso 1.3.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 3$ para todos los casos de $t$ .

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Paso 1.3.4.1

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $- 3$ para $t$ .

$\frac{0}{{(- 3)}^{2} - lim_{t \to - 3} t - 1 \cdot 12}$

Paso 1.3.4.2

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $- 3$ para $t$ .

$\frac{0}{{(- 3)}^{2} + 3 - 1 \cdot 12}$

Paso 1.3.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.5.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{0}{9 + 3 - 1 \cdot 12}$

Paso 1.3.5.1.2

Multiplica $- 1$ por $12$ .

$\frac{0}{9 + 3 - 12}$

Paso 1.3.5.2

Suma $9$ y $3$ .

$\frac{0}{12 - 12}$

Paso 1.3.5.3

Resta $12$ de $12$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.5.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.6

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{t \to - 3} \frac{t^{3} - 4 t + 15}{t^{2} - t - 12} = lim_{t \to - 3} \frac{\frac{d}{d t} [t^{3} - 4 t + 15]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - t - 12]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{t \to - 3} \frac{\frac{d}{d t} [t^{3} - 4 t + 15]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - t - 12]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{3} - 4 t + 15$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 4 t] + \frac{d}{d t} [15]$ .

$lim_{t \to - 3} \frac{\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 4 t] + \frac{d}{d t} [15]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - t - 12]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$lim_{t \to - 3} \frac{3 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 4 t] + \frac{d}{d t} [15]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - t - 12]}$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d t} [- 4 t]$ .

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Paso 3.4.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 4 t$ con respecto a $t$ es $- 4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to - 3} \frac{3 t^{2} - 4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [15]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - t - 12]}$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{t \to - 3} \frac{3 t^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [15]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - t - 12]}$

Paso 3.4.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$lim_{t \to - 3} \frac{3 t^{2} - 4 + \frac{d}{d t} [15]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - t - 12]}$

Paso 3.5

Como $15$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $15$ con respecto a $t$ es $0$ .

$lim_{t \to - 3} \frac{3 t^{2} - 4 + 0}{\frac{d}{d t} [t^{2} - t - 12]}$

Paso 3.6

Suma $3 t^{2} - 4$ y $0$ .

$lim_{t \to - 3} \frac{3 t^{2} - 4}{\frac{d}{d t} [t^{2} - t - 12]}$

Paso 3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{2} - t - 12$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [- 12]$ .

$lim_{t \to - 3} \frac{3 t^{2} - 4}{\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [- 12]}$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{t \to - 3} \frac{3 t^{2} - 4}{2 t + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [- 12]}$

Paso 3.9

Evalúa $\frac{d}{d t} [- t]$ .

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Paso 3.9.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- t$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to - 3} \frac{3 t^{2} - 4}{2 t - \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 12]}$

Paso 3.9.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{t \to - 3} \frac{3 t^{2} - 4}{2 t - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 12]}$

Paso 3.9.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{t \to - 3} \frac{3 t^{2} - 4}{2 t - 1 + \frac{d}{d t} [- 12]}$

Paso 3.10

Como $- 12$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 12$ con respecto a $t$ es $0$ .

$lim_{t \to - 3} \frac{3 t^{2} - 4}{2 t - 1 + 0}$

Paso 3.11

Suma $2 t - 1$ y $0$ .

$lim_{t \to - 3} \frac{3 t^{2} - 4}{2 t - 1}$

Paso 4

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $- 3$ .

$\frac{lim_{t \to - 3} 3 t^{2} - 4}{lim_{t \to - 3} 2 t - 1}$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $- 3$ .

$\frac{lim_{t \to - 3} 3 t^{2} - lim_{t \to - 3} 4}{lim_{t \to - 3} 2 t - 1}$

Paso 6

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$\frac{3 lim_{t \to - 3} t^{2} - lim_{t \to - 3} 4}{lim_{t \to - 3} 2 t - 1}$

Paso 7

Mueve el exponente $2$ de $t^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{3 {(lim_{t \to - 3} t)}^{2} - lim_{t \to - 3} 4}{lim_{t \to - 3} 2 t - 1}$

Paso 8

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $t$ se acerca a $- 3$ .

$\frac{3 {(lim_{t \to - 3} t)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{t \to - 3} 2 t - 1}$

Paso 9

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $- 3$ .

$\frac{3 {(lim_{t \to - 3} t)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{t \to - 3} 2 t - lim_{t \to - 3} 1}$

Paso 10

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$\frac{3 {(lim_{t \to - 3} t)}^{2} - 1 \cdot 4}{2 lim_{t \to - 3} t - lim_{t \to - 3} 1}$

Paso 11

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $t$ se acerca a $- 3$ .

$\frac{3 {(lim_{t \to - 3} t)}^{2} - 1 \cdot 4}{2 lim_{t \to - 3} t - 1 \cdot 1}$

Paso 12

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 3$ para todos los casos de $t$ .

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Paso 12.1

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $- 3$ para $t$ .

$\frac{3 {(- 3)}^{2} - 1 \cdot 4}{2 lim_{t \to - 3} t - 1 \cdot 1}$

Paso 12.2

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $- 3$ para $t$ .

$\frac{3 {(- 3)}^{2} - 1 \cdot 4}{2 \cdot - 3 - 1 \cdot 1}$

Paso 13

Simplifica la respuesta.

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Paso 13.1

Simplifica el numerador.

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Paso 13.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{3 \cdot 9 - 1 \cdot 4}{2 \cdot - 3 - 1 \cdot 1}$

Paso 13.1.2

Multiplica $3$ por $9$ .

$\frac{27 - 1 \cdot 4}{2 \cdot - 3 - 1 \cdot 1}$

Paso 13.1.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{27 - 4}{2 \cdot - 3 - 1 \cdot 1}$

Paso 13.1.4

Resta $4$ de $27$ .

$\frac{23}{2 \cdot - 3 - 1 \cdot 1}$

Paso 13.2

Simplifica el denominador.

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Paso 13.2.1

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{23}{- 6 - 1 \cdot 1}$

Paso 13.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{23}{- 6 - 1}$

Paso 13.2.3

Resta $1$ de $- 6$ .

$\frac{23}{- 7}$

Paso 13.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{23}{7}$