Cálculo Ejemplos

$lim_{v \to 8} \frac{v - 2 - \sqrt{v^{2} - 28}}{v - 8}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{v \to 8} v - 2 - \sqrt{v^{2} - 28}}{lim_{v \to 8} v - 8}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $v$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{v \to 8} v - lim_{v \to 8} 2 - lim_{v \to 8} \sqrt{v^{2} - 28}}{lim_{v \to 8} v - 8}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $v$ se acerca a $8$ .

$\frac{lim_{v \to 8} v - 1 \cdot 2 - lim_{v \to 8} \sqrt{v^{2} - 28}}{lim_{v \to 8} v - 8}$

Paso 1.2.3

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{lim_{v \to 8} v - 1 \cdot 2 - \sqrt{lim_{v \to 8} v^{2} - 28}}{lim_{v \to 8} v - 8}$

Paso 1.2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $v$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{v \to 8} v - 1 \cdot 2 - \sqrt{lim_{v \to 8} v^{2} - lim_{v \to 8} 28}}{lim_{v \to 8} v - 8}$

Paso 1.2.5

Mueve el exponente $2$ de $v^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{lim_{v \to 8} v - 1 \cdot 2 - \sqrt{{(lim_{v \to 8} v)}^{2} - lim_{v \to 8} 28}}{lim_{v \to 8} v - 8}$

Paso 1.2.6

Evalúa el límite de $28$ que es constante cuando $v$ se acerca a $8$ .

$\frac{lim_{v \to 8} v - 1 \cdot 2 - \sqrt{{(lim_{v \to 8} v)}^{2} - 1 \cdot 28}}{lim_{v \to 8} v - 8}$

Paso 1.2.7

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $v$ .

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Paso 1.2.7.1

Evalúa el límite de $v$ mediante el ingreso de $8$ para $v$ .

$\frac{8 - 1 \cdot 2 - \sqrt{{(lim_{v \to 8} v)}^{2} - 1 \cdot 28}}{lim_{v \to 8} v - 8}$

Paso 1.2.7.2

Evalúa el límite de $v$ mediante el ingreso de $8$ para $v$ .

$\frac{8 - 1 \cdot 2 - \sqrt{8^{2} - 1 \cdot 28}}{lim_{v \to 8} v - 8}$

Paso 1.2.8

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.8.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{8 - 2 - \sqrt{8^{2} - 1 \cdot 28}}{lim_{v \to 8} v - 8}$

Paso 1.2.8.1.2

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\frac{8 - 2 - \sqrt{64 - 1 \cdot 28}}{lim_{v \to 8} v - 8}$

Paso 1.2.8.1.3

Multiplica $- 1$ por $28$ .

$\frac{8 - 2 - \sqrt{64 - 28}}{lim_{v \to 8} v - 8}$

Paso 1.2.8.1.4

Resta $28$ de $64$ .

$\frac{8 - 2 - \sqrt{36}}{lim_{v \to 8} v - 8}$

Paso 1.2.8.1.5

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{8 - 2 - \sqrt{6^{2}}}{lim_{v \to 8} v - 8}$

Paso 1.2.8.1.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{8 - 2 - 1 \cdot 6}{lim_{v \to 8} v - 8}$

Paso 1.2.8.1.7

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$\frac{8 - 2 - 6}{lim_{v \to 8} v - 8}$

Paso 1.2.8.2

Resta $2$ de $8$ .

$\frac{6 - 6}{lim_{v \to 8} v - 8}$

Paso 1.2.8.3

Resta $6$ de $6$ .

$\frac{0}{lim_{v \to 8} v - 8}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $v$ se aproxima a $8$ .

$\frac{0}{lim_{v \to 8} v - lim_{v \to 8} 8}$

Paso 1.3.1.2

Evalúa el límite de $8$ que es constante cuando $v$ se acerca a $8$ .

$\frac{0}{lim_{v \to 8} v - 1 \cdot 8}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $v$ mediante el ingreso de $8$ para $v$ .

$\frac{0}{8 - 1 \cdot 8}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\frac{0}{8 - 8}$

Paso 1.3.3.2

Resta $8$ de $8$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{v \to 8} \frac{v - 2 - \sqrt{v^{2} - 28}}{v - 8} = lim_{v \to 8} \frac{\frac{d}{d v} [v - 2 - \sqrt{v^{2} - 28}]}{\frac{d}{d v} [v - 8]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{v \to 8} \frac{\frac{d}{d v} [v - 2 - \sqrt{v^{2} - 28}]}{\frac{d}{d v} [v - 8]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $v - 2 - \sqrt{v^{2} - 28}$ con respecto a $v$ es $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 2] + \frac{d}{d v} [- \sqrt{v^{2} - 28}]$ .

$lim_{v \to 8} \frac{\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 2] + \frac{d}{d v} [- \sqrt{v^{2} - 28}]}{\frac{d}{d v} [v - 8]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ es $n v^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{v \to 8} \frac{1 + \frac{d}{d v} [- 2] + \frac{d}{d v} [- \sqrt{v^{2} - 28}]}{\frac{d}{d v} [v - 8]}$

Paso 3.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $v$ es $0$ .

$lim_{v \to 8} \frac{1 + 0 + \frac{d}{d v} [- \sqrt{v^{2} - 28}]}{\frac{d}{d v} [v - 8]}$

Paso 3.5

Evalúa $\frac{d}{d v} [- \sqrt{v^{2} - 28}]$ .

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Paso 3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{v^{2} - 28}$ como ${(v^{2} - 28)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{v \to 8} \frac{1 + 0 + \frac{d}{d v} [- {(v^{2} - 28)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d v} [v - 8]}$

Paso 3.5.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $- {(v^{2} - 28)}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $v$ es $- \frac{d}{d v} [{(v^{2} - 28)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{v \to 8} \frac{1 + 0 - \frac{d}{d v} [{(v^{2} - 28)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d v} [v - 8]}$

Paso 3.5.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ es $f' (g (v)) g' (v)$ donde $f (v) = v^{\frac{1}{2}}$ y $g (v) = v^{2} - 28$ .

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Paso 3.5.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $v^{2} - 28$ .

$lim_{v \to 8} \frac{1 + 0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d v} [v^{2} - 28])}{\frac{d}{d v} [v - 8]}$

Paso 3.5.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{v \to 8} \frac{1 + 0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [v^{2} - 28])}{\frac{d}{d v} [v - 8]}$

Paso 3.5.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $v^{2} - 28$ .

$lim_{v \to 8} \frac{1 + 0 - (\frac{1}{2} {(v^{2} - 28)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [v^{2} - 28])}{\frac{d}{d v} [v - 8]}$

Paso 3.5.4

Según la regla de la suma, la derivada de $v^{2} - 28$ con respecto a $v$ es $\frac{d}{d v} [v^{2}] + \frac{d}{d v} [- 28]$ .

$lim_{v \to 8} \frac{1 + 0 - (\frac{1}{2} {(v^{2} - 28)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d v} [v^{2}] + \frac{d}{d v} [- 28]))}{\frac{d}{d v} [v - 8]}$

Paso 3.5.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ es $n v^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{v \to 8} \frac{1 + 0 - (\frac{1}{2} {(v^{2} - 28)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 v + \frac{d}{d v} [- 28]))}{\frac{d}{d v} [v - 8]}$

Paso 3.5.6

Como $- 28$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $- 28$ con respecto a $v$ es $0$ .

$lim_{v \to 8} \frac{1 + 0 - (\frac{1}{2} {(v^{2} - 28)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 v + 0))}{\frac{d}{d v} [v - 8]}$

Paso 3.5.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{v \to 8} \frac{1 + 0 - (\frac{1}{2} {(v^{2} - 28)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 v + 0))}{\frac{d}{d v} [v - 8]}$

Paso 3.5.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{v \to 8} \frac{1 + 0 - (\frac{1}{2} {(v^{2} - 28)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 v + 0))}{\frac{d}{d v} [v - 8]}$

Paso 3.5.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{v \to 8} \frac{1 + 0 - (\frac{1}{2} {(v^{2} - 28)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 v + 0))}{\frac{d}{d v} [v - 8]}$

Paso 3.5.10

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{v \to 8} \frac{1 + 0 - (\frac{1}{2} {(v^{2} - 28)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 v + 0))}{\frac{d}{d v} [v - 8]}$

Paso 3.5.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{v \to 8} \frac{1 + 0 - (\frac{1}{2} {(v^{2} - 28)}^{\frac{- 1}{2}} (2 v + 0))}{\frac{d}{d v} [v - 8]}$

Paso 3.5.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{v \to 8} \frac{1 + 0 - (\frac{1}{2} {(v^{2} - 28)}^{- \frac{1}{2}} (2 v + 0))}{\frac{d}{d v} [v - 8]}$

Paso 3.5.12

Suma $2 v$ y $0$ .

$lim_{v \to 8} \frac{1 + 0 - (\frac{1}{2} {(v^{2} - 28)}^{- \frac{1}{2}} (2 v))}{\frac{d}{d v} [v - 8]}$

Paso 3.5.13

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(v^{2} - 28)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{v \to 8} \frac{1 + 0 - (\frac{{(v^{2} - 28)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 v))}{\frac{d}{d v} [v - 8]}$

Paso 3.5.14

Combina $2$ y $\frac{{(v^{2} - 28)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{v \to 8} \frac{1 + 0 - (\frac{2 {(v^{2} - 28)}^{- \frac{1}{2}}}{2} v)}{\frac{d}{d v} [v - 8]}$

Paso 3.5.15

Combina $\frac{2 {(v^{2} - 28)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $v$ .

$lim_{v \to 8} \frac{1 + 0 - \frac{2 {(v^{2} - 28)}^{- \frac{1}{2}} v}{2}}{\frac{d}{d v} [v - 8]}$

Paso 3.5.16

Mueve ${(v^{2} - 28)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{v \to 8} \frac{1 + 0 - \frac{2 v}{2 {(v^{2} - 28)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d v} [v - 8]}$

Paso 3.5.17

Cancela el factor común.

$lim_{v \to 8} \frac{1 + 0 - \frac{2 v}{2 {(v^{2} - 28)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d v} [v - 8]}$

Paso 3.5.18

Reescribe la expresión.

$lim_{v \to 8} \frac{1 + 0 - \frac{v}{{(v^{2} - 28)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d v} [v - 8]}$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{v \to 8} \frac{1 - \frac{v}{{(v^{2} - 28)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d v} [v - 8]}$

Paso 3.6.2

Reordena los términos.

$lim_{v \to 8} \frac{- \frac{v}{{(v^{2} - 28)}^{\frac{1}{2}}} + 1}{\frac{d}{d v} [v - 8]}$

Paso 3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $v - 8$ con respecto a $v$ es $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 8]$ .

$lim_{v \to 8} \frac{- \frac{v}{{(v^{2} - 28)}^{\frac{1}{2}}} + 1}{\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 8]}$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ es $n v^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{v \to 8} \frac{- \frac{v}{{(v^{2} - 28)}^{\frac{1}{2}}} + 1}{1 + \frac{d}{d v} [- 8]}$

Paso 3.9

Como $- 8$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $v$ es $0$ .

$lim_{v \to 8} \frac{- \frac{v}{{(v^{2} - 28)}^{\frac{1}{2}}} + 1}{1 + 0}$

Paso 3.10

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{v \to 8} \frac{- \frac{v}{{(v^{2} - 28)}^{\frac{1}{2}}} + 1}{1}$

Paso 4

Reescribe ${(v^{2} - 28)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{v^{2} - 28}$ .

$lim_{v \to 8} \frac{- \frac{v}{\sqrt{v^{2} - 28}} + 1}{1}$

Paso 5

Combina los términos.

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Paso 5.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$lim_{v \to 8} \frac{- \frac{v}{\sqrt{v^{2} - 28}} + \frac{\sqrt{v^{2} - 28}}{\sqrt{v^{2} - 28}}}{1}$

Paso 5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{v \to 8} \frac{\frac{- v + \sqrt{v^{2} - 28}}{\sqrt{v^{2} - 28}}}{1}$

Paso 6

Divide $\frac{- v + \sqrt{v^{2} - 28}}{\sqrt{v^{2} - 28}}$ por $1$ .

$lim_{v \to 8} \frac{- v + \sqrt{v^{2} - 28}}{\sqrt{v^{2} - 28}}$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $v$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{v \to 8} - v + \sqrt{v^{2} - 28}}{lim_{v \to 8} \sqrt{v^{2} - 28}}$

Paso 8

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $v$ se aproxima a $8$ .

$\frac{- lim_{v \to 8} v + lim_{v \to 8} \sqrt{v^{2} - 28}}{lim_{v \to 8} \sqrt{v^{2} - 28}}$

Paso 9

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{- lim_{v \to 8} v + \sqrt{lim_{v \to 8} v^{2} - 28}}{lim_{v \to 8} \sqrt{v^{2} - 28}}$

Paso 10

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $v$ se aproxima a $8$ .

$\frac{- lim_{v \to 8} v + \sqrt{lim_{v \to 8} v^{2} - lim_{v \to 8} 28}}{lim_{v \to 8} \sqrt{v^{2} - 28}}$

Paso 11

Mueve el exponente $2$ de $v^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{- lim_{v \to 8} v + \sqrt{{(lim_{v \to 8} v)}^{2} - lim_{v \to 8} 28}}{lim_{v \to 8} \sqrt{v^{2} - 28}}$

Paso 12

Evalúa el límite de $28$ que es constante cuando $v$ se acerca a $8$ .

$\frac{- lim_{v \to 8} v + \sqrt{{(lim_{v \to 8} v)}^{2} - 1 \cdot 28}}{lim_{v \to 8} \sqrt{v^{2} - 28}}$

Paso 13

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{- lim_{v \to 8} v + \sqrt{{(lim_{v \to 8} v)}^{2} - 1 \cdot 28}}{\sqrt{lim_{v \to 8} v^{2} - 28}}$

Paso 14

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $v$ se aproxima a $8$ .

$\frac{- lim_{v \to 8} v + \sqrt{{(lim_{v \to 8} v)}^{2} - 1 \cdot 28}}{\sqrt{lim_{v \to 8} v^{2} - lim_{v \to 8} 28}}$

Paso 15

Mueve el exponente $2$ de $v^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{- lim_{v \to 8} v + \sqrt{{(lim_{v \to 8} v)}^{2} - 1 \cdot 28}}{\sqrt{{(lim_{v \to 8} v)}^{2} - lim_{v \to 8} 28}}$

Paso 16

Evalúa el límite de $28$ que es constante cuando $v$ se acerca a $8$ .

$\frac{- lim_{v \to 8} v + \sqrt{{(lim_{v \to 8} v)}^{2} - 1 \cdot 28}}{\sqrt{{(lim_{v \to 8} v)}^{2} - 1 \cdot 28}}$

Paso 17

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $v$ .

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Paso 17.1

Evalúa el límite de $v$ mediante el ingreso de $8$ para $v$ .

$\frac{- 8 + \sqrt{{(lim_{v \to 8} v)}^{2} - 1 \cdot 28}}{\sqrt{{(lim_{v \to 8} v)}^{2} - 1 \cdot 28}}$

Paso 17.2

Evalúa el límite de $v$ mediante el ingreso de $8$ para $v$ .

$\frac{- 8 + \sqrt{8^{2} - 1 \cdot 28}}{\sqrt{{(lim_{v \to 8} v)}^{2} - 1 \cdot 28}}$

Paso 17.3

Evalúa el límite de $v$ mediante el ingreso de $8$ para $v$ .

$\frac{- 8 + \sqrt{8^{2} - 1 \cdot 28}}{\sqrt{8^{2} - 1 \cdot 28}}$

Paso 18

Simplifica la respuesta.

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Paso 18.1

Simplifica el numerador.

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Paso 18.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 8 + \sqrt{64 - 1 \cdot 28}}{\sqrt{8^{2} - 1 \cdot 28}}$

Paso 18.1.2

Multiplica $- 1$ por $28$ .

$\frac{- 8 + \sqrt{64 - 28}}{\sqrt{8^{2} - 1 \cdot 28}}$

Paso 18.1.3

Resta $28$ de $64$ .

$\frac{- 8 + \sqrt{36}}{\sqrt{8^{2} - 1 \cdot 28}}$

Paso 18.1.4

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{- 8 + \sqrt{6^{2}}}{\sqrt{8^{2} - 1 \cdot 28}}$

Paso 18.1.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{- 8 + 6}{\sqrt{8^{2} - 1 \cdot 28}}$

Paso 18.1.6

Suma $- 8$ y $6$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{8^{2} - 1 \cdot 28}}$

Paso 18.2

Simplifica el denominador.

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Paso 18.2.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{64 - 1 \cdot 28}}$

Paso 18.2.2

Multiplica $- 1$ por $28$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{64 - 28}}$

Paso 18.2.3

Resta $28$ de $64$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{36}}$

Paso 18.2.4

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{6^{2}}}$

Paso 18.2.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{- 2}{6}$

Paso 18.3

Cancela el factor común de $- 2$ y $6$ .

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Paso 18.3.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{6}$

Paso 18.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 18.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}$

Paso 18.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}$

Paso 18.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{3}$

Paso 18.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{3}$