Cálculo Ejemplos

$lim_{θ \to π} \frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $θ$ se aproxima a $π$ .

$\frac{lim_{θ \to π} 1 + \cos (θ)}{lim_{θ \to π} 1 - \cos (θ)}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $θ$ se aproxima a $π$ .

$\frac{lim_{θ \to π} 1 + lim_{θ \to π} \cos (θ)}{lim_{θ \to π} 1 - \cos (θ)}$

Paso 3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $θ$ se acerca a $π$ .

$\frac{1 + lim_{θ \to π} \cos (θ)}{lim_{θ \to π} 1 - \cos (θ)}$

Paso 4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1 + \cos (lim_{θ \to π} θ)}{lim_{θ \to π} 1 - \cos (θ)}$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $θ$ se aproxima a $π$ .

$\frac{1 + \cos (lim_{θ \to π} θ)}{lim_{θ \to π} 1 - lim_{θ \to π} \cos (θ)}$

Paso 6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $θ$ se acerca a $π$ .

$\frac{1 + \cos (lim_{θ \to π} θ)}{1 - lim_{θ \to π} \cos (θ)}$

Paso 7

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1 + \cos (lim_{θ \to π} θ)}{1 - \cos (lim_{θ \to π} θ)}$

Paso 8

Evalúa los límites mediante el ingreso de $π$ para todos los casos de $θ$ .

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Paso 8.1

Evalúa el límite de $θ$ mediante el ingreso de $π$ para $θ$ .

$\frac{1 + \cos (π)}{1 - \cos (lim_{θ \to π} θ)}$

Paso 8.2

Evalúa el límite de $θ$ mediante el ingreso de $π$ para $θ$ .

$\frac{1 + \cos (π)}{1 - \cos (π)}$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$\frac{1 - \cos (0)}{1 - \cos (π)}$

Paso 9.1.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{1 - \cos (π)}$

Paso 9.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{1 - \cos (π)}$

Paso 9.1.4

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{1 - \cos (π)}$

Paso 9.2

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.1

$\frac{0}{1 - - \cos (0)}$

Paso 9.2.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{0}{1 - (- 1 \cdot 1)}$

Paso 9.2.3

Multiplica $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 9.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - - 1}$

Paso 9.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{0}{1 + 1}$

Paso 9.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{0}{2}$

Paso 9.3

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 9.3.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$\frac{2 (0)}{2}$

Paso 9.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Paso 9.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Paso 9.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{0}{1}$

Paso 9.3.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$0$