Cálculo Ejemplos

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \tan (θ^{\cos (θ)})$

Paso 1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\tan (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ^{\cos (θ)})$

Paso 2

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 2.1

Reescribe $θ^{\cos (θ)}$ como $e^{\ln (θ^{\cos (θ)})}$ .

$\tan (lim_{θ \to \frac{π}{2}} e^{\ln (θ^{\cos (θ)})})$

Paso 2.2

Expande $\ln (θ^{\cos (θ)})$ ; para ello, mueve $\cos (θ)$ fuera del logaritmo.

$\tan (lim_{θ \to \frac{π}{2}} e^{\cos (θ) \ln (θ)})$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$\tan (e^{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (θ) \ln (θ)})$

Paso 3.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $θ$ se aproxima a $\frac{π}{2}$ .

$\tan (e^{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (θ) \cdot lim_{θ \to \frac{π}{2}} \ln (θ)})$

Paso 3.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\tan (e^{\cos (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) \cdot lim_{θ \to \frac{π}{2}} \ln (θ)})$

Paso 3.4

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\tan (e^{\cos (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) \cdot \ln (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)})$

Paso 4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para todos los casos de $θ$ .

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Paso 4.1

Evalúa el límite de $θ$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $θ$ .

$\tan (e^{\cos (\frac{π}{2}) \cdot \ln (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)})$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $θ$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $θ$ .

$\tan (e^{\cos (\frac{π}{2}) \cdot \ln (\frac{π}{2})})$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$\tan (e^{0 \cdot \ln (\frac{π}{2})})$

Paso 5.2

Simplifica $0 \cdot \ln (\frac{π}{2})$ al mover $0$ dentro del algoritmo.

$\tan (e^{\ln ({(\frac{π}{2})}^{0})})$

Paso 5.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$\tan ({(\frac{π}{2})}^{0})$

Paso 5.4

Aplica la regla del producto a $\frac{π}{2}$ .

$\tan (\frac{π^{0}}{2^{0}})$

Paso 5.5

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\tan (\frac{1}{2^{0}})$

Paso 5.6

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\tan (\frac{1}{1})$

Paso 5.7

Divide $1$ por $1$ .

$\tan (1)$

Paso 5.8

Evalúa $\tan (1)$ .

$1.55740772$