Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - x - \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \ln (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 1.1.3.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 1 - \frac{1}{x}$

Paso 1.1.4

Reordena los términos.

$f' (x) = 2 x - \frac{1}{x} - 1$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 x - \frac{1}{x} - 1$ .

$2 x - \frac{1}{x} - 1$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$

Paso 2.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, x, 1, 1$

Paso 2.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x$

Paso 2.3

Multiplica cada término en $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ por $x$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.3.1

Multiplica cada término en $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ por $x$ .

$2 x \cdot x - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.2.1.1.1

Mueve $x$ .

$2 (x \cdot x) - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Paso 2.3.2.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x^{2} - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Paso 2.3.2.1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.3.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x}$ al numerador.

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

Paso 2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

Paso 2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$2 x^{2} - 1 - x = 0 x$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $0$ por $x$ .

$2 x^{2} - 1 - x = 0$

Paso 2.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.4.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.4.1.1

Reordena los términos.

$2 x^{2} - x - 1 = 0$

Paso 2.4.1.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ y cuya suma es $b = - 1$ .

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Paso 2.4.1.2.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$2 x^{2} - (x) - 1 = 0$

Paso 2.4.1.2.2

Reescribe $- 1$ como $1$ más $- 2$

$2 x^{2} + (1 - 2) x - 1 = 0$

Paso 2.4.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1 = 0$

Paso 2.4.1.2.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$2 x^{2} + x - 2 x - 1 = 0$

Paso 2.4.1.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.4.1.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(2 x^{2} + x) - 2 x - 1 = 0$

Paso 2.4.1.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (2 x + 1) - (2 x + 1) = 0$

Paso 2.4.1.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 1) = 0$

Paso 2.4.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 2.4.3

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.3.1

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Paso 2.4.3.2

Resuelve $2 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 1$

Paso 2.4.3.2.2

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.4.3.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.4.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.4.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.4.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.3.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 2.4.4

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.4.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 2.4.4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 2.4.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 x + 1) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{1}{2}, 1$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{1}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 4

Evalúa $x^{2} - x - \ln (x)$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = - \frac{1}{2}$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $- \frac{1}{2}$ por $x$ .

${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- \frac{1}{2}) - \ln (- \frac{1}{2})$

Paso 4.1.2

El logaritmo natural de un número negativo es indefinido.

Indefinida

Paso 4.2

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $1$ por $x$ .

${(1)}^{2} - (1) - \ln (1)$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - (1) - \ln (1)$

Paso 4.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$1 - 1 - \ln (1)$

Paso 4.2.2.1.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$1 - 1 - 0$

Paso 4.2.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$1 - 1 + 0$

Paso 4.2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.2.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$0 + 0$

Paso 4.2.2.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$0$

Paso 4.3

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $0$ por $x$ .

${(0)}^{2} - (0) - \ln (0)$

Paso 4.3.2

El logaritmo natural de cero es indefinido.

Indefinida

Paso 4.4

Enumera todos los puntos.

$(1, 0)$

Paso 5