Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{\frac{2}{3}}) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ y $g (x) = x + 3$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 3$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 3$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Paso 1.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Paso 1.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Paso 1.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Paso 1.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Paso 1.1.6.2

Resta $3$ de $2$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Paso 1.1.7

Combina fracciones.

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Paso 1.1.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Paso 1.1.7.2

Combina $\frac{2}{3}$ y ${(x + 3)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2 {(x + 3)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Paso 1.1.7.3

Mueve ${(x + 3)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Paso 1.1.7.4

Combina $\frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ y $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Paso 1.1.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Paso 1.1.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Paso 1.1.10

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + 0) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Paso 1.1.11

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.11.1

Suma $1$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1 + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Paso 1.1.11.2

Multiplica $\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Paso 1.1.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Paso 1.1.13

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 1.1.14

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 1.1.15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 1.1.16

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.16.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Paso 1.1.16.2

Resta $3$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Paso 1.1.17

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Paso 1.1.18

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Paso 1.1.19

Combina ${(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ y $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Paso 1.1.20

Mueve $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.1.21

Para escribir $\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.1.22

Para escribir $\frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.23

Escribe cada expresión con un denominador común de $3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.1.23.1

Multiplica $\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ por $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.23.2

Multiplica $\frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ por $\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.23.3

Reordena los factores de $3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.24

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.25

Multiplica $x^{\frac{1}{3}}$ por $x^{\frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.25.1

Mueve $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.25.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.25.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{2 + 1}{3}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.25.4

Suma $2$ y $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{3}{3}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.25.5

Divide $3$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{2 x + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.26

Simplifica $2 x^{1}$ .

$f' (x) = \frac{2 x + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.27

Multiplica ${(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ por ${(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.27.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{2 x + {(x + 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.27.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{2 x + {(x + 3)}^{\frac{2 + 1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.27.3

Suma $2$ y $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x + {(x + 3)}^{\frac{3}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.27.4

Divide $3$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{2 x + x + 3}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.28

Simplifica ${(x + 3)}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{2 x + x + 3}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.29

Suma $2 x$ y $x$ .

$f' (x) = \frac{3 x + 3}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.30

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$f' (x) = \frac{3 (x) + 3}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.31

Factoriza $3$ de $3$ .

$f' (x) = \frac{3 (x) + 3 \cdot 1}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.32

Factoriza $3$ de $3 (x) + 3 (1)$ .

$f' (x) = \frac{3 (x + 1)}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.33

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.33.1

Factoriza $3$ de $3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3 (x + 1)}{3 (x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}$

Paso 1.1.33.2

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{3 (x + 1)}{3 (x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}$

Paso 1.1.33.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{x + 1}{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{x + 1}{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{x + 1}{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{x + 1}{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{x + 1}{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$x + 1 = 0$

Paso 2.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 3.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{x + 1}{\sqrt[3]{x^{2}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 3.1.2

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{x + 1}{\sqrt[3]{x^{2}} \sqrt[3]{{(x + 3)}^{1}}}$

Paso 3.1.3

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{x + 1}{\sqrt[3]{x^{2}} \sqrt[3]{x + 3}}$

Paso 3.2

Establece el denominador en $\frac{x + 1}{\sqrt[3]{x^{2}} \sqrt[3]{x + 3}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt[3]{x^{2}} \sqrt[3]{x + 3} = 0$

Paso 3.3

Resuelve $x$

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Paso 3.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${(\sqrt[3]{x^{2}} \sqrt[3]{x + 3})}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(x^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{x + 3})}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

Simplifica ${(x^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{x + 3})}^{3}$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.3.2.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $x^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{x + 3}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} {\sqrt[3]{x + 3}}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} {\sqrt[3]{x + 3}}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.1.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} {\sqrt[3]{x + 3}}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} {\sqrt[3]{x + 3}}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.2

Reescribe ${\sqrt[3]{x + 3}}^{3}$ como $x + 3$ .

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Paso 3.3.2.2.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x + 3}$ como ${(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$x^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.2.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$x^{2} {(x + 3)}^{\frac{3}{3}} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.2.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.2.2.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$x^{2} {(x + 3)}^{\frac{3}{3}} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} {(x + 3)}^{1} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.2.5

Simplifica.

$x^{2} (x + 3) = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} x + x^{2} \cdot 3 = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.4

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.2.2.1.4.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 3.3.2.2.1.4.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 3 = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 3 = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.4.2

Suma $2$ y $1$ .

$x^{3} + x^{2} \cdot 3 = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.5

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 x^{2} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x^{3} + 3 x^{2} = 0$

Paso 3.3.3

Resuelve $x$

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Paso 3.3.3.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3} + 3 x^{2}$ .

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Paso 3.3.3.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$x^{2} x + 3 x^{2} = 0$

Paso 3.3.3.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$x^{2} x + x^{2} \cdot 3 = 0$

Paso 3.3.3.1.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ .

$x^{2} (x + 3) = 0$

Paso 3.3.3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 3.3.3.3

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.3.3.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 3.3.3.3.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.3.3.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 3.3.3.3.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 3.3.3.3.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 3.3.3.3.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 3.3.3.3.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 3.3.3.4

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.3.4.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 3.3.3.4.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 3.3.3.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $x^{2} (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 3$

Paso 3.4

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x = - 3, x = 0$

Paso 4

Evalúa $x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = - 1$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $- 1$ por $x$ .

${(- 1)}^{\frac{1}{3}} {((- 1) + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.2.1.1

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

${({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}} {((- 1) + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.1.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} {((- 1) + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.1.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Cancela el factor común.

${(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} {((- 1) + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

${(- 1)}^{1} {((- 1) + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.1.2.3

Evalúa el exponente.

$- 1 {((- 1) + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.1.2.4

Suma $- 1$ y $3$ .

$- 1 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.1.2.5

Reescribe $- 1 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$ como $- 2^{\frac{2}{3}}$ .

$- 2^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.2

Evalúa en $x = - 3$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $- 3$ por $x$ .

${(- 3)}^{\frac{1}{3}} {((- 3) + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.2.1.1

Suma $- 3$ y $3$ .

${(- 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot 0^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.2.2.1.2

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

${(- 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.2.2.1.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Paso 4.2.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.2.2.1

Cancela el factor común.

${(- 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Paso 4.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

${(- 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot 0^{2}$

Paso 4.2.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

${(- 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot 0$

Paso 4.2.2.3.2

Multiplica ${(- 3)}^{\frac{1}{3}}$ por $0$ .

$0$

Paso 4.3

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $0$ por $x$ .

${(0)}^{\frac{1}{3}} {((0) + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.3.2

Simplifica.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

${(0^{3})}^{\frac{1}{3}} {((0) + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.3.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{1}{3})} {((0) + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.3.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$0^{3 (\frac{1}{3})} {((0) + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$0^{1} {((0) + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.3.2.3

Evalúa el exponente.

$0 {((0) + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.3.2.4

Suma $0$ y $3$ .

$0 \cdot 3^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.3.2.5

Multiplica $0$ por $3^{\frac{2}{3}}$ .

$0$

Paso 4.4

Enumera todos los puntos.

$(- 1, - 2^{\frac{2}{3}}), (- 3, 0), (0, 0)$

Paso 5