Cálculo Ejemplos

$f (x) = 5 \tan^{-1} (x) - 3 x^{3}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 \tan^{-1} (x) - 3 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 \tan^{-1} (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 \tan^{-1} (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3})$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 \tan^{-1} (x)]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 \tan^{-1} (x)$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\tan^{-1} (x)]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (\tan^{-1} (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3})$

Paso 1.1.2.2

La derivada de $\tan^{-1} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{1}{1 + x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3})$

Paso 1.1.2.3

Combina $5$ y $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3})$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} - 3 \frac{d}{d x} x^{3}$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} - 3 (3 x^{2})$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} - 9 x^{2}$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Combina los términos.

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Paso 1.1.4.1.1

Para escribir $- 9 x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} - 9 x^{2} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$

Paso 1.1.4.1.2

Combina $- 9 x^{2}$ y $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} + \frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Paso 1.1.4.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{5 - 9 x^{2} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Paso 1.1.4.2

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5 = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 9 x^{2} \cdot 1 - 9 x^{2} x^{2} + 5 = 0$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $- 9$ por $1$ .

$- 9 x^{2} - 9 x^{2} x^{2} + 5 = 0$

Paso 2.3.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.1.3.1

Mueve $x^{2}$ .

$- 9 x^{2} - 9 (x^{2} x^{2}) + 5 = 0$

Paso 2.3.1.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 9 x^{2} - 9 x^{2 + 2} + 5 = 0$

Paso 2.3.1.3.3

Suma $2$ y $2$ .

$- 9 x^{2} - 9 x^{4} + 5 = 0$

Paso 2.3.2

Sustituye $u = x^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$- 9 u^{2} - 9 u + 5 = 0$

$u = x^{2}$

Paso 2.3.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.3.4

Sustituye los valores $a = - 9$ , $b = - 9$ y $c = 5$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 9 \cdot 5)}}{2 \cdot - 9}$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.5.1.1

Eleva $- 9$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 9 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

Paso 2.3.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 9 \cdot 5$ .

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Paso 2.3.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 36 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

Paso 2.3.5.1.2.2

Multiplica $36$ por $5$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 180}}{2 \cdot - 9}$

Paso 2.3.5.1.3

Suma $81$ y $180$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot - 9}$

Paso 2.3.5.1.4

Reescribe $261$ como $3^{2} \cdot 29$ .

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Paso 2.3.5.1.4.1

Factoriza $9$ de $261$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot - 9}$

Paso 2.3.5.1.4.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot - 9}$

Paso 2.3.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot - 9}$

Paso 2.3.5.2

Multiplica $2$ por $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$

Paso 2.3.5.3

Simplifica $\frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{- 6}$

Paso 2.3.5.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{29}}{6}$

Paso 2.3.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.3.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.6.1.1

Eleva $- 9$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 9 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

Paso 2.3.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 9 \cdot 5$ .

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Paso 2.3.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 36 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

Paso 2.3.6.1.2.2

Multiplica $36$ por $5$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 180}}{2 \cdot - 9}$

Paso 2.3.6.1.3

Suma $81$ y $180$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot - 9}$

Paso 2.3.6.1.4

Reescribe $261$ como $3^{2} \cdot 29$ .

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Paso 2.3.6.1.4.1

Factoriza $9$ de $261$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot - 9}$

Paso 2.3.6.1.4.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot - 9}$

Paso 2.3.6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot - 9}$

Paso 2.3.6.2

Multiplica $2$ por $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$

Paso 2.3.6.3

Simplifica $\frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{- 6}$

Paso 2.3.6.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{29}}{6}$

Paso 2.3.6.5

Cambia $\pm$ a $+$ .

$u = - \frac{3 + \sqrt{29}}{6}$

Paso 2.3.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.3.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.7.1.1

Eleva $- 9$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 9 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

Paso 2.3.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 9 \cdot 5$ .

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Paso 2.3.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 36 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

Paso 2.3.7.1.2.2

Multiplica $36$ por $5$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 180}}{2 \cdot - 9}$

Paso 2.3.7.1.3

Suma $81$ y $180$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot - 9}$

Paso 2.3.7.1.4

Reescribe $261$ como $3^{2} \cdot 29$ .

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Paso 2.3.7.1.4.1

Factoriza $9$ de $261$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot - 9}$

Paso 2.3.7.1.4.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot - 9}$

Paso 2.3.7.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot - 9}$

Paso 2.3.7.2

Multiplica $2$ por $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$

Paso 2.3.7.3

Simplifica $\frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{- 6}$

Paso 2.3.7.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{29}}{6}$

Paso 2.3.7.5

Cambia $\pm$ a $-$ .

$u = - \frac{3 - \sqrt{29}}{6}$

Paso 2.3.8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = - \frac{3 + \sqrt{29}}{6}, - \frac{3 - \sqrt{29}}{6}$

Paso 2.3.9

Sustituye el valor real de $u = x^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$x^{2} = - 1.39752746$

${(x^{2})}^{1} = 0.39752746$

Paso 2.3.10

Resuelve la primera ecuación para $x$ .

$x^{2} = - 1.39752746$

Paso 2.3.11

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1.39752746}$

Paso 2.3.11.2

Simplifica $\pm \sqrt{- 1.39752746}$ .

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Paso 2.3.11.2.1

Reescribe $- 1.39752746$ como $- 1 (1.39752746)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (1.39752746)}$

Paso 2.3.11.2.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (1.39752746)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.39752746}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.39752746}$

Paso 2.3.11.2.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{1.39752746}$

Paso 2.3.11.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.3.11.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i \sqrt{1.39752746}$

Paso 2.3.11.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i \sqrt{1.39752746}$

Paso 2.3.11.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i \sqrt{1.39752746}, - i \sqrt{1.39752746}$

Paso 2.3.12

Resuelve la segunda ecuación para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 0.39752746$

Paso 2.3.13

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.13.1

Elimina los paréntesis.

$x^{2} = 0.39752746$

Paso 2.3.13.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0.39752746}$

Paso 2.3.13.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.3.13.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{0.39752746}$

Paso 2.3.13.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{0.39752746}$

Paso 2.3.13.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{0.39752746}, - \sqrt{0.39752746}$

Paso 2.3.14

La solución a $- 9 x^{4} - 9 x^{2} + 5 = 0$ es $x = i \sqrt{1.39752746}, - i \sqrt{1.39752746}, \sqrt{0.39752746}, - \sqrt{0.39752746}$ .

$x = i \sqrt{1.39752746}, - i \sqrt{1.39752746}, \sqrt{0.39752746}, - \sqrt{0.39752746}$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $5 \tan^{-1} (x) - 3 x^{3}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = \sqrt{0.39752746}$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $\sqrt{0.39752746}$ por $x$ .

$5 \tan^{-1} (\sqrt{0.39752746}) - 3 {(\sqrt{0.39752746})}^{3}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Evalúa $\tan^{-1} (\sqrt{0.39752746})$ .

$5 \cdot 0.56254301 - 3 {(\sqrt{0.39752746})}^{3}$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $5$ por $0.56254301$ .

$2.81271509 - 3 {(\sqrt{0.39752746})}^{3}$

Paso 4.1.2.1.3

Reescribe ${\sqrt{0.39752746}}^{3}$ como $\sqrt{{0.39752746}^{3}}$ .

$2.81271509 - 3 \sqrt{{0.39752746}^{3}}$

Paso 4.1.2.1.4

Eleva $0.39752746$ a la potencia de $3$ .

$2.81271509 - 3 \sqrt{0.0628205}$

Paso 4.1.2.2

Resta $3 \sqrt{0.0628205}$ de $2.81271509$ .

$2.06079452$

Paso 4.2

Evalúa en $x = - \sqrt{0.39752746}$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $- \sqrt{0.39752746}$ por $x$ .

$5 \tan^{-1} (- \sqrt{0.39752746}) - 3 {(- \sqrt{0.39752746})}^{3}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Evalúa $\tan^{-1} (- \sqrt{0.39752746})$ .

$5 \cdot - 0.56254301 - 3 {(- \sqrt{0.39752746})}^{3}$

Paso 4.2.2.1.2

Multiplica $5$ por $- 0.56254301$ .

$- 2.81271509 - 3 {(- \sqrt{0.39752746})}^{3}$

Paso 4.2.2.1.3

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{0.39752746}$ .

$- 2.81271509 - 3 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{0.39752746}}^{3})$

Paso 4.2.2.1.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- 2.81271509 - 3 (- {\sqrt{0.39752746}}^{3})$

Paso 4.2.2.1.5

Reescribe ${\sqrt{0.39752746}}^{3}$ como $\sqrt{{0.39752746}^{3}}$ .

$- 2.81271509 - 3 (- \sqrt{{0.39752746}^{3}})$

Paso 4.2.2.1.6

Eleva $0.39752746$ a la potencia de $3$ .

$- 2.81271509 - 3 (- \sqrt{0.0628205})$

Paso 4.2.2.1.7

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$- 2.81271509 + 3 \sqrt{0.0628205}$

Paso 4.2.2.2

Suma $- 2.81271509$ y $3 \sqrt{0.0628205}$ .

$- 2.06079452$

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(\sqrt{0.39752746}, 2.06079452), (- \sqrt{0.39752746}, - 2.06079452)$

Paso 5