Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 4}{x - 2}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} - 3 x - 4$ y $g (x) = x - 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} - 3 x - 4) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 3 x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3 + 0) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2.7

Suma $2 x - 3$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) (1 + \frac{d}{d x} (- 2))}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2.10

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2.11

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.11.1

Suma $1$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2.11.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.2.1.1

Expande $(x - 2) (2 x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.3.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{x (2 x - 3) - 2 (2 x - 3) - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 (2 x - 3) - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.3.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.2.1.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.2.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.3.2.1.2.1.2.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.2.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.2.1.3

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 3 \cdot x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.2.1.4

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 3 x - 4 x - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.2.1.5

Multiplica $- 2$ por $- 3$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 3 x - 4 x + 6 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.2.2

Resta $4 x$ de $- 3 x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 7 x + 6 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 7 x + 6 - x^{2} + 3 x + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 7 x + 6 - x^{2} + 3 x + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.2

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 7 x + 6 + 3 x + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.3

Suma $- 7 x$ y $3 x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 6 + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.4

Suma $6$ y $4$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$x^{2} - 4 x + 10 = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.3.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 4$ y $c = 10$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 10)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.3.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 10$ .

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Paso 2.3.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $10$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 40}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.3.1.3

Resta $40$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 24}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.3.1.4

Reescribe $- 24$ como $- 1 (24)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (24)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.3.1.7

Reescribe $24$ como $2^{2} \cdot 6$ .

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Paso 2.3.3.1.7.1

Factoriza $4$ de $24$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.3.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (2 \sqrt{6})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.3.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$

Paso 2.3.3.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$ .

$x = 2 \pm i \sqrt{6}$

Paso 2.3.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.3.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.4.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 10$ .

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Paso 2.3.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $10$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 40}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.4.1.3

Resta $40$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 24}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.4.1.4

Reescribe $- 24$ como $- 1 (24)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (24)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.4.1.7

Reescribe $24$ como $2^{2} \cdot 6$ .

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Paso 2.3.4.1.7.1

Factoriza $4$ de $24$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.4.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (2 \sqrt{6})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.4.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$

Paso 2.3.4.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$ .

$x = 2 \pm i \sqrt{6}$

Paso 2.3.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 2 + i \sqrt{6}$

Paso 2.3.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.3.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.5.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 10$ .

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Paso 2.3.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $10$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 40}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.5.1.3

Resta $40$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 24}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.5.1.4

Reescribe $- 24$ como $- 1 (24)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (24)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.5.1.7

Reescribe $24$ como $2^{2} \cdot 6$ .

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Paso 2.3.5.1.7.1

Factoriza $4$ de $24$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.5.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (2 \sqrt{6})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.5.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$

Paso 2.3.5.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$ .

$x = 2 \pm i \sqrt{6}$

Paso 2.3.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 2 - i \sqrt{6}$

Paso 2.3.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 2 + i \sqrt{6}, 2 - i \sqrt{6}$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 3.2.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 4

Evalúa $\frac{x^{2} - 3 x - 4}{x - 2}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 2$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$\frac{{(2)}^{2} - 3 \cdot 2 - 4}{(2) - 2}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{{(2)}^{2} - 3 \cdot 2 - 4}{0}$

Paso 4.1.2.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 5

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos