Cálculo Ejemplos

$y = x^{\frac{2}{3}} (x - 1)$

Paso 1

Escribe $y = x^{\frac{2}{3}} (x - 1)$ como una función.

$f (x) = x^{\frac{2}{3}} (x - 1)$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ y $g (x) = x - 1$ .

$x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{\frac{2}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.2.4.2

Multiplica $x^{\frac{2}{3}}$ por $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Paso 2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 2.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Paso 2.6.2

Resta $3$ de $2$ .

$x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Paso 2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Paso 2.8

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Paso 2.9

Mueve $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.10

Simplifica.

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Paso 2.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{\frac{2}{3}} + x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.10.2

Combina los términos.

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Paso 2.10.2.1

Combina $x$ y $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} + \frac{x \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.10.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 \cdot x}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.10.2.3

Mueve $x^{\frac{1}{3}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x \cdot x^{- \frac{1}{3}}}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.10.2.4

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.10.2.4.1

Mueve $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 (x^{- \frac{1}{3}} x)}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.10.2.4.2

Multiplica $x^{- \frac{1}{3}}$ por $x$ .

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Paso 2.10.2.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 (x^{- \frac{1}{3}} x^{1})}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.10.2.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + 1}}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.10.2.4.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}}}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.10.2.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{\frac{- 1 + 3}{3}}}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.10.2.4.5

Suma $- 1$ y $3$ .

$x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.10.2.5

Reescribe $- 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ como $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.10.2.6

Para escribir $x^{\frac{2}{3}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.10.2.7

Combina $x^{\frac{2}{3}}$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.10.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot 3 + 2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.10.2.9

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.10.2.10

Suma $3 x^{\frac{2}{3}}$ y $2 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $\frac{5}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Paso 3.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Paso 3.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Paso 3.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Paso 3.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Paso 3.2.6.2

Resta $3$ de $2$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Paso 3.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Paso 3.2.8

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Paso 3.2.9

Multiplica $\frac{5}{3}$ por $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Paso 3.2.10

Multiplica $2$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{- \frac{1}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Paso 3.2.11

Multiplica $3$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{- \frac{1}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Paso 3.2.12

Mueve $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- \frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 3.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ como ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 3.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}))$

Paso 3.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Paso 3.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Paso 3.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Paso 3.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Paso 3.3.5.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Paso 3.3.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Paso 3.3.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Paso 3.3.7

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Paso 3.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Paso 3.3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.9.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

Paso 3.3.9.2

Resta $3$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

Paso 3.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

Paso 3.3.11

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Paso 3.3.12

Combina $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Paso 3.3.13

Multiplica $x^{- \frac{2}{3}}$ por $x^{- \frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.13.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

Paso 3.3.13.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

Paso 3.3.13.3

Resta $2$ de $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

Paso 3.3.13.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Paso 3.3.14

Mueve $x^{- \frac{4}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Paso 3.3.15

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + 1 (\frac{2}{3}) \cdot \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.3.16

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3.3.17

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{3 (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Paso 3.3.18

Multiplica $3$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})$

Paso 5.1.2

Diferencia.

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Paso 5.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})$

Paso 5.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})$

Paso 5.1.2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})$

Paso 5.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})$

Paso 5.1.2.4.2

Multiplica $x^{\frac{2}{3}}$ por $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})$

Paso 5.1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Paso 5.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 5.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 5.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 5.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Paso 5.1.6.2

Resta $3$ de $2$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Paso 5.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Paso 5.1.8

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Paso 5.1.9

Mueve $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Paso 5.1.10

Simplifica.

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Paso 5.1.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + x (\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}) - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.1.10.2

Combina los términos.

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Paso 5.1.10.2.1

Combina $x$ y $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + \frac{x \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.1.10.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 \cdot x}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.1.10.2.3

Mueve $x^{\frac{1}{3}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x \cdot x^{- \frac{1}{3}}}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.1.10.2.4

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.10.2.4.1

Mueve $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 (x^{- \frac{1}{3}} x)}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.1.10.2.4.2

Multiplica $x^{- \frac{1}{3}}$ por $x$ .

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Paso 5.1.10.2.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 (x^{- \frac{1}{3}} x)}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.1.10.2.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + 1}}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.1.10.2.4.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}}}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.1.10.2.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{\frac{- 1 + 3}{3}}}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.1.10.2.4.5

Suma $- 1$ y $3$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.1.10.2.5

Reescribe $- 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ como $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.1.10.2.6

Para escribir $x^{\frac{2}{3}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.1.10.2.7

Combina $x^{\frac{2}{3}}$ y $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.1.10.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot 3 + 2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.1.10.2.9

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.1.10.2.10

Suma $3 x^{\frac{2}{3}}$ y $2 x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Paso 6.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 6.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$3, 3 x^{\frac{1}{3}}, 1$

Paso 6.2.2

Since $3, 3 x^{\frac{1}{3}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $3, 3, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{1}{3}}$ .

Paso 6.2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 6.2.4

Como $3$ no tiene factores además de $1$ y $3$ .

$3$ es un número primo

Paso 6.2.5

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 6.2.6

El MCM de $3, 3, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$3$

Paso 6.2.7

El MCM de $x^{\frac{1}{3}}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$x^{\frac{1}{3}}$

Paso 6.2.8

El MCM para $3, 3 x^{\frac{1}{3}}, 1$ es la parte numérica $3$ multiplicada por la parte variable.

$3 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 6.3

Multiplica cada término en $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ por $3 x^{\frac{1}{3}}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 6.3.1

Multiplica cada término en $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ por $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} (3 x^{\frac{1}{3}}) - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 6.3.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 6.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$5 x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 6.3.2.1.3

Multiplica $x^{\frac{2}{3}}$ por $x^{\frac{1}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.3.2.1.3.1

Mueve $x^{\frac{1}{3}}$ .

$5 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 6.3.2.1.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 6.3.2.1.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 x^{\frac{1 + 2}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 6.3.2.1.3.4

Suma $1$ y $2$ .

$5 x^{\frac{3}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 6.3.2.1.3.5

Divide $3$ por $3$ .

$5 x^{1} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 6.3.2.1.4

Simplifica $5 x^{1}$ .

$5 x - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 6.3.2.1.5

Cancela el factor común de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 6.3.2.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ al numerador.

$5 x + \frac{- 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 6.3.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$5 x + \frac{- 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 6.3.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$5 x - 2 = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 6.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.1

Multiplica $0 (3 x^{\frac{1}{3}})$ .

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Paso 6.3.3.1.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$5 x - 2 = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 6.3.3.1.2

Multiplica $0$ por $x^{\frac{1}{3}}$ .

$5 x - 2 = 0$

Paso 6.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 6.4.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$5 x = 2$

Paso 6.4.2

Divide cada término en $5 x = 2$ por $5$ y simplifica.

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Paso 6.4.2.1

Divide cada término en $5 x = 2$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Paso 6.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 6.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Paso 6.4.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{5}$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 7.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{5 \sqrt[3]{x^{2}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 7.1.2

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{5 \sqrt[3]{x^{2}}}{3} - \frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Paso 7.1.3

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{5 \sqrt[3]{x^{2}}}{3} - \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$

Paso 7.2

Establece el denominador en $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Paso 7.3

Resuelve $x$

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Paso 7.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Paso 7.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 7.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 7.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.3.2.2.1

Simplifica ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 7.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 7.3.2.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 7.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 7.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 7.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 7.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Paso 7.3.2.2.1.4

Simplifica.

$27 x = 0^{3}$

Paso 7.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$27 x = 0$

Paso 7.3.3

Divide cada término en $27 x = 0$ por $27$ y simplifica.

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Paso 7.3.3.1

Divide cada término en $27 x = 0$ por $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Paso 7.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.3.3.2.1

Cancela el factor común de $27$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Paso 7.3.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Paso 7.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.3.3.1

Divide $0$ por $27$ .

$x = 0$

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = \frac{2}{5}, 0$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{2}{5}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{10}{9 {(\frac{2}{5})}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{5}$ .

$\frac{10}{9 \frac{2^{\frac{1}{3}}}{5^{\frac{1}{3}}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 10.1.2

Combina $9$ y $\frac{2^{\frac{1}{3}}}{5^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{10}{\frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}}{5^{\frac{1}{3}}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 10.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$10 \frac{5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 10.1.4

Combina $10$ y $\frac{5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 10.1.5

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{5}$ .

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{9 \frac{2^{\frac{4}{3}}}{5^{\frac{4}{3}}}}$

Paso 10.1.6

Combina $9$ y $\frac{2^{\frac{4}{3}}}{5^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{\frac{9 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}{5^{\frac{4}{3}}}}$

Paso 10.1.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + 2 \frac{5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}$

Paso 10.1.8

Combina $2$ y $\frac{5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}$

Paso 10.1.9

Mueve $2^{1}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{4}{3}} \cdot 2^{- 1}}$

Paso 10.1.10

Multiplica $2^{\frac{4}{3}}$ por $2^{- 1}$ sumando los exponentes.

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Paso 10.1.10.1

Mueve $2^{- 1}$ .

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot (2^{- 1} \cdot 2^{\frac{4}{3}})}$

Paso 10.1.10.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot 2^{- 1 + \frac{4}{3}}}$

Paso 10.1.10.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot 2^{- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{4}{3}}}$

Paso 10.1.10.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{4}{3}}}$

Paso 10.1.10.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{- 1 \cdot 3 + 4}{3}}}$

Paso 10.1.10.6

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1.10.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{- 3 + 4}{3}}}$

Paso 10.1.10.6.2

Suma $- 3$ y $4$ .

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}}$

Paso 10.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}} + 5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}}$

Paso 11

$x = \frac{2}{5}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{2}{5}$ es un mínimo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{2}{5}$ .

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Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{2}{5}$ en la expresión.

$f (\frac{2}{5}) = {(\frac{2}{5})}^{\frac{2}{3}} ((\frac{2}{5}) - 1)$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{5}$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}} \cdot ((\frac{2}{5}) - 1)$

Paso 12.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})$

Paso 12.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})$

Paso 12.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{2 - 1 \cdot 5}{5}$

Paso 12.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 12.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{2 - 5}{5}$

Paso 12.2.5.2

Resta $5$ de $2$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{- 3}{5}$

Paso 12.2.6

Combinar.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot - 3}{5^{\frac{2}{3}} \cdot 5}$

Paso 12.2.7

Multiplica $5^{\frac{2}{3}}$ por $5$ sumando los exponentes.

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Paso 12.2.7.1

Multiplica $5^{\frac{2}{3}}$ por $5$ .

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Paso 12.2.7.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $1$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot - 3}{5^{\frac{2}{3}} \cdot 5}$

Paso 12.2.7.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot - 3}{5^{\frac{2}{3} + 1}}$

Paso 12.2.7.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot - 3}{5^{\frac{2}{3} + \frac{3}{3}}}$

Paso 12.2.7.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot - 3}{5^{\frac{2 + 3}{3}}}$

Paso 12.2.7.4

Suma $2$ y $3$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot - 3}{5^{\frac{5}{3}}}$

Paso 12.2.8

Mueve $- 3$ a la izquierda de $2^{\frac{2}{3}}$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{5}{3}}}$

Paso 12.2.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{2}{5}) = - \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{5}{3}}}$

Paso 12.2.10

La respuesta final es $- \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{5}{3}}}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{5}{3}}}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{10}{9 {(0)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 14.1

Simplifica la expresión.

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Paso 14.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$\frac{10}{9 {(0^{3})}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 14.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10}{9 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 14.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 14.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{10}{9 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 14.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{10}{9 \cdot 0^{1}} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 14.3

Evalúa el exponente.

$\frac{10}{9 \cdot 0} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 14.4

Multiplica $9$ por $0$ .

$\frac{10}{0} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 14.5

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 15

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 15.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{2}{5}) \cup (\frac{2}{5}, \infty)$

Paso 15.2

Sustituye cualquier número, como $- 2$ , del intervalo $(- \infty, 0)$ en la primera derivada $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 15.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = \frac{5 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 15.2.2

La respuesta final es $\frac{5 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{5 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 15.3

Sustituye cualquier número, como $0.2$ , del intervalo $(0, \frac{2}{5})$ en la primera derivada $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 15.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.2$ en la expresión.

$f' (0.2) = \frac{5 {(0.2)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 {(0.2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 15.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 15.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.3.2.1.1

Eleva $0.2$ a la potencia de $\frac{2}{3}$ .

$f' (0.2) = \frac{5 \cdot 0.34199518}{3} - \frac{2}{3 {(0.2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 15.3.2.1.2

Multiplica $5$ por $0.34199518$ .

$f' (0.2) = \frac{1.70997594}{3} - \frac{2}{3 {(0.2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 15.3.2.1.3

Divide $1.70997594$ por $3$ .

$f' (0.2) = 0.56999198 - \frac{2}{3 {(0.2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 15.3.2.1.4

Eleva $0.2$ a la potencia de $\frac{1}{3}$ .

$f' (0.2) = 0.56999198 - \frac{2}{3 \cdot 0.58480354}$

Paso 15.3.2.1.5

Multiplica $3$ por $0.58480354$ .

$f' (0.2) = 0.56999198 - \frac{2}{1.75441064}$

Paso 15.3.2.1.6

Divide $2$ por $1.75441064$ .

$f' (0.2) = 0.56999198 - 1 \cdot 1.13998396$

Paso 15.3.2.1.7

Multiplica $- 1$ por $1.13998396$ .

$f' (0.2) = 0.56999198 - 1.13998396$

Paso 15.3.2.2

Resta $1.13998396$ de $0.56999198$ .

$f' (0.2) = - 0.56999198$

Paso 15.3.2.3

La respuesta final es $- 0.56999198$ .

$- 0.56999198$

Paso 15.4

Sustituye cualquier número, como $3$ , del intervalo $(\frac{2}{5}, \infty)$ en la primera derivada $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 15.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f' (3) = \frac{5 {(3)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 15.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 15.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.4.2.1.1

Mueve ${(3)}^{\frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f' (3) = \frac{5}{3 \cdot 3^{- \frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 15.4.2.1.2

Multiplica $3$ por $3^{- \frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 15.4.2.1.2.1

Multiplica $3$ por $3^{- \frac{2}{3}}$ .

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Paso 15.4.2.1.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$f' (3) = \frac{5}{3 \cdot 3^{- \frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 15.4.2.1.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (3) = \frac{5}{3^{1 - \frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 15.4.2.1.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f' (3) = \frac{5}{3^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 15.4.2.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (3) = \frac{5}{3^{\frac{3 - 2}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 15.4.2.1.2.4

Resta $2$ de $3$ .

$f' (3) = \frac{5}{3^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 15.4.2.1.3

Multiplica $3$ por ${(3)}^{\frac{1}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 15.4.2.1.3.1

Multiplica $3$ por ${(3)}^{\frac{1}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.4.2.1.3.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$f' (3) = \frac{5}{3^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 15.4.2.1.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (3) = \frac{5}{3^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3^{1 + \frac{1}{3}}}$

Paso 15.4.2.1.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f' (3) = \frac{5}{3^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}$

Paso 15.4.2.1.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (3) = \frac{5}{3^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{3 + 1}{3}}}$

Paso 15.4.2.1.3.4

Suma $3$ y $1$ .

$f' (3) = \frac{5}{3^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 15.4.2.2

Para escribir $\frac{5}{3^{\frac{1}{3}}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3^{\frac{3}{3}}}{3^{\frac{3}{3}}}$ .

$f' (3) = \frac{5}{3^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{3^{\frac{3}{3}}}{3^{\frac{3}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 15.4.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $3^{\frac{4}{3}}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 15.4.2.3.1

Multiplica $\frac{5}{3^{\frac{1}{3}}}$ por $\frac{3^{\frac{3}{3}}}{3^{\frac{3}{3}}}$ .

$f' (3) = \frac{5 \cdot 3^{\frac{3}{3}}}{3^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{3}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 15.4.2.3.2

Multiplica $3^{\frac{1}{3}}$ por $3^{\frac{3}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 15.4.2.3.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (3) = \frac{5 \cdot 3^{\frac{3}{3}}}{3^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 15.4.2.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (3) = \frac{5 \cdot 3^{\frac{3}{3}}}{3^{\frac{1 + 3}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 15.4.2.3.2.3

Suma $1$ y $3$ .

$f' (3) = \frac{5 \cdot 3^{\frac{3}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 15.4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (3) = \frac{5 \cdot 3^{\frac{3}{3}} - 2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 15.4.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 15.4.2.5.1

Divide $3$ por $3$ .

$f' (3) = \frac{5 \cdot 3 - 2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 15.4.2.5.2

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$f' (3) = \frac{5 \cdot 3 - 2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 15.4.2.5.3

Multiplica $5$ por $3$ .

$f' (3) = \frac{15 - 2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 15.4.2.5.4

Resta $2$ de $15$ .

$f' (3) = \frac{13}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 15.4.2.6

La respuesta final es $\frac{13}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{13}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 15.5

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = 0$ , $x = 0$ es un máximo local.

$x = 0$ es un máximo local

Paso 15.6

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = \frac{2}{5}$ , $x = \frac{2}{5}$ es un mínimo local.

$x = \frac{2}{5}$ es un mínimo local

Paso 15.7

Estos son los extremos locales de $f (x) = x^{\frac{2}{3}} (x - 1)$ .

$x = 0$ es un máximo local

$x = \frac{2}{5}$ es un mínimo local

$x = 0$ es un máximo local

$x = \frac{2}{5}$ es un mínimo local

Paso 16