Cálculo Ejemplos

$4 x y - x^{2} y - x y^{2}$

Paso 1

Escribe $4 x y - x^{2} y - x y^{2}$ como una función.

$f (x) = 4 x y - x^{2} y - x y^{2}$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x y - x^{2} y - x y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x y]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Como $4 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x y$ con respecto a $x$ es $4 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$

Paso 2.2.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 y + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Como $- y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2} y$ con respecto a $x$ es $- y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 y - y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 y - y (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$4 y - 2 y x + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x y^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Como $- y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x y^{2}$ con respecto a $x$ es $- y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 y - 2 y x - y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 y - 2 y x - y^{2} \cdot 1$

Paso 2.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$4 y - 2 y x - y^{2}$

Paso 2.5

Reordena los términos.

$- y^{2} - 2 x y + 4 y$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- y^{2} - 2 x y + 4 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- y^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x y) + \frac{d}{d x} (4 y)$

Paso 3.1.2

Como $- y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 x y) + \frac{d}{d x} (4 y)$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Como $- 2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x y$ con respecto a $x$ es $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 y \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (4 y)$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4 y)$

Paso 3.2.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 y + \frac{d}{d x} (4 y)$

Paso 3.3

Como $4 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 0 - 2 y + 0$

Paso 3.4

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Resta $2 y$ de $0$ .

$f'' (x) = - 2 y + 0$

Paso 3.4.2

Suma $- 2 y$ y $0$ .

$f'' (x) = - 2 y$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- y^{2} - 2 x y + 4 y = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x y - x^{2} y - x y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x y) + \frac{d}{d x} (- x^{2} y) + \frac{d}{d x} (- x y^{2})$

Paso 5.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x y]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.2.1

Como $4 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x y$ con respecto a $x$ es $4 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 y \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- x^{2} y) + \frac{d}{d x} (- x y^{2})$

Paso 5.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 4 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- x^{2} y) + \frac{d}{d x} (- x y^{2})$

Paso 5.1.2.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$f' (x) = 4 y + \frac{d}{d x} (- x^{2} y) + \frac{d}{d x} (- x y^{2})$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.3.1

Como $- y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2} y$ con respecto a $x$ es $- y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 y - y \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- x y^{2})$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 4 y - y (2 x) + \frac{d}{d x} (- x y^{2})$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = 4 y - 2 y x + \frac{d}{d x} (- x y^{2})$

Paso 5.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x y^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.4.1

Como $- y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x y^{2}$ con respecto a $x$ es $- y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 y - 2 y x - y^{2} \frac{d}{d x} x$

Paso 5.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 4 y - 2 y x - y^{2} \cdot 1$

Paso 5.1.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = 4 y - 2 y x - y^{2}$

Paso 5.1.5

Reordena los términos.

$f' (x) = - y^{2} - 2 x y + 4 y$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- y^{2} - 2 x y + 4 y$ .

$- y^{2} - 2 x y + 4 y$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- y^{2} - 2 x y + 4 y = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- y^{2} - 2 x y + 4 y = 0$

Paso 6.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Suma $y^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 x y + 4 y = y^{2}$

Paso 6.2.2

Resta $4 y$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x y = y^{2} - 4 y$

Paso 6.3

Divide cada término en $- 2 x y = y^{2} - 4 y$ por $- 2 y$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1

Divide cada término en $- 2 x y = y^{2} - 4 y$ por $- 2 y$ .

$\frac{- 2 x y}{- 2 y} = \frac{y^{2}}{- 2 y} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x y}{- 2 y} = \frac{y^{2}}{- 2 y} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Paso 6.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x y}{y} = \frac{y^{2}}{- 2 y} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Paso 6.3.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y}{y} = \frac{y^{2}}{- 2 y} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Paso 6.3.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{- 2 y} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Paso 6.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.1.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.1.1.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$x = \frac{y \cdot y}{- 2 y} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Paso 6.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.1.1.2.1

Factoriza $y$ de $- 2 y$ .

$x = \frac{y \cdot y}{y \cdot - 2} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Paso 6.3.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{y \cdot y}{y \cdot - 2} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Paso 6.3.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{y}{- 2} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Paso 6.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{y}{2} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Paso 6.3.3.1.3

Cancela el factor común de $- 4$ y $- 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.1.3.1

Factoriza $- 2$ de $- 4 y$ .

$x = - \frac{y}{2} + \frac{- 2 (2 y)}{- 2 y}$

Paso 6.3.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.1.3.2.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 y$ .

$x = - \frac{y}{2} + \frac{- 2 (2 y)}{- 2 (y)}$

Paso 6.3.3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$x = - \frac{y}{2} + \frac{- 2 (2 y)}{- 2 y}$

Paso 6.3.3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{y}{2} + \frac{2 y}{y}$

Paso 6.3.3.1.4

Cancela el factor común de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$x = - \frac{y}{2} + \frac{2 y}{y}$

Paso 6.3.3.1.4.2

Divide $2$ por $1$ .

$x = - \frac{y}{2} + 2$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = - \frac{y}{2} + 2$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = - \frac{y}{2} + 2$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 2 y$

Paso 10

Como la prueba de la primera derivada falló, no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 11