Cálculo Ejemplos

$f (x) = 8 e^{x} - e^{2 x}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $8 e^{x} - e^{2 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (8 e^{x}) + \frac{d}{d x} (- e^{2 x})$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 e^{x}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f' (x) = 8 \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- e^{2 x})$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f' (x) = 8 e^{x} + \frac{d}{d x} (- e^{2 x})$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e^{2 x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$f' (x) = 8 e^{x} - \frac{d}{d x} e^{2 x}$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$f' (x) = 8 e^{x} - (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 1.1.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f' (x) = 8 e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 1.1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$f' (x) = 8 e^{x} - (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 1.1.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 8 e^{x} - (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 1.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 8 e^{x} - (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Paso 1.1.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$f' (x) = 8 e^{x} - (e^{2 x} \cdot 2)$

Paso 1.1.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$f' (x) = 8 e^{x} - (2 \cdot e^{2 x})$

Paso 1.1.3.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = 8 e^{x} - 2 e^{2 x}$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $8 e^{x} - 2 e^{2 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{2 x})$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 e^{x}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{2 x})$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 8 e^{x} + \frac{d}{d x} (- 2 e^{2 x})$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 e^{2 x}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$f'' (x) = 8 e^{x} - 2 \frac{d}{d x} e^{2 x}$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$f'' (x) = 8 e^{x} - 2 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 1.2.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 8 e^{x} - 2 (e^{u} \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 1.2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$f'' (x) = 8 e^{x} - 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 1.2.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 8 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 1.2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 8 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Paso 1.2.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 8 e^{x} - 2 (e^{2 x} \cdot 2)$

Paso 1.2.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$f'' (x) = 8 e^{x} - 2 (2 \cdot e^{2 x})$

Paso 1.2.3.7

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 8 e^{x} - 4 e^{2 x}$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $8 e^{x} - 4 e^{2 x}$ .

$8 e^{x} - 4 e^{2 x}$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $8 e^{x} - 4 e^{2 x} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$8 e^{x} - 4 e^{2 x} = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Reescribe $e^{2 x}$ como ${(e^{x})}^{2}$ .

$8 e^{x} - 4 {(e^{x})}^{2} = 0$

Paso 2.2.2

Sea $u = e^{x}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $e^{x}$ .

$8 u - 4 u^{2} = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $4 u$ de $8 u - 4 u^{2}$ .

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Paso 2.2.3.1

Factoriza $4 u$ de $8 u$ .

$4 u (2) - 4 u^{2} = 0$

Paso 2.2.3.2

Factoriza $4 u$ de $- 4 u^{2}$ .

$4 u (2) + 4 u (- u) = 0$

Paso 2.2.3.3

Factoriza $4 u$ de $4 u (2) + 4 u (- u)$ .

$4 u (2 - u) = 0$

Paso 2.2.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $e^{x}$ .

$4 e^{x} (2 - e^{x}) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$2 - e^{x} = 0$

Paso 2.4

Establece $e^{x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $e^{x}$ igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $e^{x} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Paso 2.4.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 2.4.2.3

No hay soluciones para $e^{x} = 0$

No hay solución

Paso 2.5

Establece $2 - e^{x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $2 - e^{x}$ igual a $0$ .

$2 - e^{x} = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $2 - e^{x} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- e^{x} = - 2$

Paso 2.5.2.2

Divide cada término en $- e^{x} = - 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.5.2.2.1

Divide cada término en $- e^{x} = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- e^{x}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 2.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{e^{x}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 2.5.2.2.2.2

Divide $e^{x}$ por $1$ .

$e^{x} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 2.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.2.3.1

Divide $- 2$ por $- 1$ .

$e^{x} = 2$

Paso 2.5.2.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Paso 2.5.2.4

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.4.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Paso 2.5.2.4.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Paso 2.5.2.4.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (2)$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 e^{x} (2 - e^{x}) = 0$ verdadera.

$x = \ln (2)$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $\ln (2)$ en $f (x) = 8 e^{x} - e^{2 x}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $\ln (2)$ en la expresión.

$f (\ln (2)) = 8 e^{\ln (2)} - e^{2 (\ln (2))}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\ln (2)) = 8 \cdot 2 - e^{2 (\ln (2))}$

Paso 3.1.2.1.2

Multiplica $8$ por $2$ .

$f (\ln (2)) = 16 - e^{2 (\ln (2))}$

Paso 3.1.2.1.3

Simplifica $2 (\ln (2))$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$f (\ln (2)) = 16 - e^{\ln (2^{2})}$

Paso 3.1.2.1.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\ln (2)) = 16 - 2^{2}$

Paso 3.1.2.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\ln (2)) = 16 - 1 \cdot 4$

Paso 3.1.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f (\ln (2)) = 16 - 4$

Paso 3.1.2.2

Resta $4$ de $16$ .

$f (\ln (2)) = 12$

Paso 3.1.2.3

La respuesta final es $12$ .

$12$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\ln (2)$ en $f (x) = 8 e^{x} - e^{2 x}$ es $(\ln (2), 12)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\ln (2), 12)$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, \ln (2)) \cup (\ln (2), \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, \ln (2))$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.59314718$ en la expresión.

$f'' (0.59314718) = 8 e^{0.59314718} - 4 e^{2 (0.59314718)}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Multiplica $2$ por $0.59314718$ .

$f'' (0.59314718) = 8 e^{0.59314718} - 4 e^{1.18629436}$

Paso 5.2.2

La respuesta final es $8 e^{0.59314718} - 4 e^{1.18629436}$ .

$8 e^{0.59314718} - 4 e^{1.18629436}$

Paso 5.3

En $0.59314718$ , la segunda derivada es $1.37770663$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, \ln (2))$ .

Incremento en $(- \infty, \ln (2))$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(\ln (2), \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.79314718$ en la expresión.

$f'' (0.79314718) = 8 e^{0.79314718} - 4 e^{2 (0.79314718)}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Multiplica $2$ por $0.79314718$ .

$f'' (0.79314718) = 8 e^{0.79314718} - 4 e^{1.58629436}$

Paso 6.2.2

La respuesta final es $8 e^{0.79314718} - 4 e^{1.58629436}$ .

$8 e^{0.79314718} - 4 e^{1.58629436}$

Paso 6.3

En $0.79314718$ , la segunda derivada es $- 1.85970944$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(\ln (2), \infty)$ .

Decrecimiento en $(\ln (2), \infty)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(\ln (2), 12)$ .

$(\ln (2), 12)$

Paso 8