Cálculo Ejemplos

$f (x) = 5 \cos^{2} (x) - 10 \sin (x)$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 \cos^{2} (x) - 10 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (x))$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 \cos^{2} (x)]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 \cos^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (x))$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\cos (x)$ .

$f' (x) = 5 (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (x))$

Paso 1.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 5 (2 u \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (x))$

Paso 1.1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$f' (x) = 5 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (x))$

Paso 1.1.2.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$f' (x) = 5 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (x))$

Paso 1.1.2.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = 5 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (x))$

Paso 1.1.2.5

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$f' (x) = - 10 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (x))$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 10 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- 10 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f' (x) = - 10 \cos (x) \sin (x) - 10 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Paso 1.1.3.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f' (x) = - 10 \cos (x) \sin (x) - 10 \cos (x)$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 10 \cos (x) \sin (x) - 10 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 10 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 10 \cos (x) \sin (x)]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 10 \cos (x) \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- 10 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Paso 1.2.2.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Paso 1.2.2.4

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Paso 1.2.2.5

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Paso 1.2.2.6

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Paso 1.2.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - 10 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Paso 1.2.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Paso 1.2.2.9

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Paso 1.2.2.10

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Paso 1.2.2.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Paso 1.2.2.12

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 10 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- 10 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 10 \frac{d}{d x} \cos (x)$

Paso 1.2.3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 10 (- \sin (x))$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 10$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 10 \sin (x)$

Paso 1.2.4

Simplifica.

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Paso 1.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - 10 \cos^{2} (x) - 10 (- \sin^{2} (x)) + 10 \sin (x)$

Paso 1.2.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 10$ .

$f'' (x) = - 10 \cos^{2} (x) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x)$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 10 \cos^{2} (x) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x)$ .

$- 10 \cos^{2} (x) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x)$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- 10 \cos^{2} (x) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x) = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- 10 \cos^{2} (x) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x) = 0$

Paso 2.2

Reemplaza $- 10 \cos^{2} (x)$ con $- 10 (1 - \sin^{2} (x))$ según la identidad de $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$- 10 (1 - \sin^{2} (x)) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x) = 0$

Paso 2.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 10 \cdot 1 - 10 (- \sin^{2} (x)) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x) = 0$

Paso 2.3.2

Multiplica $- 10$ por $1$ .

$- 10 - 10 (- \sin^{2} (x)) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x) = 0$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 10$ .

$- 10 + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x) = 0$

Paso 2.4

Suma $10 \sin^{2} (x)$ y $10 \sin^{2} (x)$ .

$- 10 + 20 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x) = 0$

Paso 2.5

Reordena el polinomio.

$20 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x) - 10 = 0$

Paso 2.6

Sustituye $u$ por $\sin (x)$ .

$20 {(u)}^{2} + 10 (u) - 10 = 0$

Paso 2.7

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.7.1

Factoriza $10$ de $20 u^{2} + 10 u - 10$ .

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Paso 2.7.1.1

Factoriza $10$ de $20 u^{2}$ .

$10 (2 u^{2}) + 10 u - 10 = 0$

Paso 2.7.1.2

Factoriza $10$ de $10 u$ .

$10 (2 u^{2}) + 10 u - 10 = 0$

Paso 2.7.1.3

Factoriza $10$ de $- 10$ .

$10 (2 u^{2}) + 10 u + 10 (- 1) = 0$

Paso 2.7.1.4

Factoriza $10$ de $10 (2 u^{2}) + 10 u$ .

$10 (2 u^{2} + u) + 10 (- 1) = 0$

Paso 2.7.1.5

Factoriza $10$ de $10 (2 u^{2} + u) + 10 (- 1)$ .

$10 (2 u^{2} + u - 1) = 0$

Paso 2.7.2

Factoriza.

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Paso 2.7.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.7.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ y cuya suma es $b = 1$ .

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Paso 2.7.2.1.1.1

Multiplica por $1$ .

$10 (2 u^{2} + 1 u - 1) = 0$

Paso 2.7.2.1.1.2

Reescribe $1$ como $- 1$ más $2$

$10 (2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1) = 0$

Paso 2.7.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$10 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Paso 2.7.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.7.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$10 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Paso 2.7.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$10 (u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1)) = 0$

Paso 2.7.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u - 1$ .

$10 ((2 u - 1) (u + 1)) = 0$

Paso 2.7.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$10 (2 u - 1) (u + 1) = 0$

Paso 2.8

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Paso 2.9

Establece $2 u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 2.9.1

Establece $2 u - 1$ igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Paso 2.9.2

Resuelve $2 u - 1 = 0$ en $u$ .

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Paso 2.9.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 u = 1$

Paso 2.9.2.2

Divide cada término en $2 u = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.9.2.2.1

Divide cada término en $2 u = 1$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 2.9.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.9.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.9.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 2.9.2.2.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Paso 2.10

Establece $u + 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 2.10.1

Establece $u + 1$ igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Paso 2.10.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 1$

Paso 2.11

La solución final comprende todos los valores que hacen $10 (2 u - 1) (u + 1) = 0$ verdadera.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Paso 2.12

Sustituye $\sin (x)$ por $u$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}, - 1$

Paso 2.13

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

$\sin (x) = - 1$

Paso 2.14

Resuelve $x$ en $\sin (x) = \frac{1}{2}$ .

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Paso 2.14.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Paso 2.14.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.14.2.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Paso 2.14.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Paso 2.14.4

Simplifica $π - \frac{π}{6}$ .

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Paso 2.14.4.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 2.14.4.2

Combina fracciones.

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Paso 2.14.4.2.1

Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 2.14.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 2.14.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.14.4.3.1

Mueve $6$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Paso 2.14.4.3.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Paso 2.14.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 2.14.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.14.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 2.14.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 2.14.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 2.14.6

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.15

Resuelve $x$ en $\sin (x) = - 1$ .

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Paso 2.15.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Paso 2.15.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.15.2.1

El valor exacto de $\arcsin (- 1)$ es $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Paso 2.15.3

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Paso 2.15.4

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 2.15.4.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Paso 2.15.4.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 2.15.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 2.15.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.15.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 2.15.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 2.15.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 2.15.6

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 2.15.6.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{2}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Paso 2.15.6.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.15.6.3

Combina fracciones.

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Paso 2.15.6.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.15.6.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 2.15.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.15.6.4.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Paso 2.15.6.4.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Paso 2.15.6.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 2.15.7

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.16

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.17

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $\frac{π}{6}$ en $f (x) = 5 \cos^{2} (x) - 10 \sin (x)$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{6}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{6}) = 5 \cos^{2} (\frac{π}{6}) - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 5 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Paso 3.1.2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 5 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Paso 3.1.2.1.3

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 3.1.2.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 5 (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Paso 3.1.2.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 5 (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Paso 3.1.2.1.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = 5 (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Paso 3.1.2.1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.2.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{6}) = 5 (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Paso 3.1.2.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{π}{6}) = 5 (\frac{3}{2^{2}}) - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Paso 3.1.2.1.3.5

Evalúa el exponente.

$f (\frac{π}{6}) = 5 (\frac{3}{2^{2}}) - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Paso 3.1.2.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = 5 (\frac{3}{4}) - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Paso 3.1.2.1.5

Multiplica $5 (\frac{3}{4})$ .

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Paso 3.1.2.1.5.1

Combina $5$ y $\frac{3}{4}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{5 \cdot 3}{4} - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Paso 3.1.2.1.5.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{15}{4} - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Paso 3.1.2.1.6

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{15}{4} - 10 (\frac{1}{2})$

Paso 3.1.2.1.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.2.1.7.1

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{15}{4} + 2 (- 5) (\frac{1}{2})$

Paso 3.1.2.1.7.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{15}{4} + 2 \cdot (- 5 (\frac{1}{2}))$

Paso 3.1.2.1.7.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{15}{4} - 5$

Paso 3.1.2.2

Para escribir $- 5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{15}{4} - 5 \cdot \frac{4}{4}$

Paso 3.1.2.3

Combina $- 5$ y $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{15}{4} + \frac{- 5 \cdot 4}{4}$

Paso 3.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{15 - 5 \cdot 4}{4}$

Paso 3.1.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.2.5.1

Multiplica $- 5$ por $4$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{15 - 20}{4}$

Paso 3.1.2.5.2

Resta $20$ de $15$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{- 5}{4}$

Paso 3.1.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{π}{6}) = - \frac{5}{4}$

Paso 3.1.2.7

La respuesta final es $- \frac{5}{4}$ .

$- \frac{5}{4}$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\frac{π}{6}$ en $f (x) = 5 \cos^{2} (x) - 10 \sin (x)$ es $(\frac{π}{6}, - \frac{5}{4})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\frac{π}{6}, - \frac{5}{4})$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, \frac{π}{6}) \cup (\frac{π}{6}, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, \frac{π}{6})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.42359877$ en la expresión.

$f'' (0.42359877) = - 10 \cos^{2} (0.42359877) + 10 \sin^{2} (0.42359877) + 10 \sin (0.42359877)$

Paso 5.2

La respuesta final es $- 10 \cos^{2} (0.42359877) + 10 \sin^{2} (0.42359877) + 10 \sin (0.42359877)$ .

$- 10 \cos^{2} (0.42359877) + 10 \sin^{2} (0.42359877) + 10 \sin (0.42359877)$

Paso 5.3

En $0.42359877$ , la segunda derivada es $- 2.51042168$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, \frac{π}{6})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, \frac{π}{6})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{π}{6}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.62359877$ en la expresión.

$f'' (0.62359877) = - 10 \cos^{2} (0.62359877) + 10 \sin^{2} (0.62359877) + 10 \sin (0.62359877)$

Paso 6.2

La respuesta final es $- 10 \cos^{2} (0.62359877) + 10 \sin^{2} (0.62359877) + 10 \sin (0.62359877)$ .

$- 10 \cos^{2} (0.62359877) + 10 \sin^{2} (0.62359877) + 10 \sin (0.62359877)$

Paso 6.3

En $0.62359877$ , la segunda derivada es $2.65979756$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(\frac{π}{6}, \infty)$ .

Incremento en $(\frac{π}{6}, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(\frac{π}{6}, - \frac{5}{4})$ .

$(\frac{π}{6}, - \frac{5}{4})$

Paso 8