Cálculo Ejemplos

$5 \sin (2 x) + 3 > \frac{11}{2}$

Paso 1

Mueve todos los términos que no contengan $\sin (2 x)$ al lado derecho de la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Resta $3$ de ambos lados de la desigualdad.

$5 \sin (2 x) > \frac{11}{2} - 3$

Paso 1.2

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$5 \sin (2 x) > \frac{11}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 1.3

Combina $- 3$ y $\frac{2}{2}$ .

$5 \sin (2 x) > \frac{11}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Paso 1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 \sin (2 x) > \frac{11 - 3 \cdot 2}{2}$

Paso 1.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$5 \sin (2 x) > \frac{11 - 6}{2}$

Paso 1.5.2

Resta $6$ de $11$ .

$5 \sin (2 x) > \frac{5}{2}$

Paso 2

Divide cada término en $5 \sin (2 x) > \frac{5}{2}$ por $5$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Divide cada término en $5 \sin (2 x) > \frac{5}{2}$ por $5$ .

$\frac{5 \sin (2 x)}{5} > \frac{\frac{5}{2}}{5}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 \sin (2 x)}{5} > \frac{\frac{5}{2}}{5}$

Paso 2.2.1.2

Divide $\sin (2 x)$ por $1$ .

$\sin (2 x) > \frac{\frac{5}{2}}{5}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sin (2 x) > \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{5}$

Paso 2.3.2

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común.

$\sin (2 x) > \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{5}$

Paso 2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\sin (2 x) > \frac{1}{2}$

Paso 3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$2 x > \arcsin (\frac{1}{2})$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{6}$ .

$2 x > \frac{π}{6}$

Paso 5

Divide cada término en $2 x > \frac{π}{6}$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Divide cada término en $2 x > \frac{π}{6}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} > \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} > \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Paso 5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x > \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x > \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 5.3.2

Multiplica $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1

Multiplica $\frac{π}{6}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x > \frac{π}{6 \cdot 2}$

Paso 5.3.2.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$x > \frac{π}{12}$

Paso 6

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$2 x = π - \frac{π}{6}$

Paso 7

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 7.1.2

Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 7.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 7.1.4

Resta $π$ de $π \cdot 6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.4.1

Reordena $π$ y $6$ .

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Paso 7.1.4.2

Resta $π$ de $6 \cdot π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Paso 7.2

Divide cada término en $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Divide cada término en $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Paso 7.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Paso 7.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 7.2.3.2

Multiplica $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.2.1

Multiplica $\frac{5 π}{6}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Paso 7.2.3.2.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Paso 8

Obtén el período de $\sin (2 x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 8.2

Reemplaza $b$ con $2$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Paso 8.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Paso 8.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2}$

Paso 8.4.2

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 9

El período de la función $\sin (2 x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$\frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12}$

$\frac{5 π}{12} < x < \frac{13 π}{12}$

$\frac{13 π}{12} < x < \frac{17 π}{12}$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $\frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1$

Paso 11.1.2

Reemplaza $x$ con $1$ en la desigualdad original.

$5 \sin (2 (1)) + 3 > \frac{11}{2}$

Paso 11.1.3

$7.54648713$ del lado izquierdo es mayor que $5.5$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $\frac{5 π}{12} < x < \frac{13 π}{12}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{5 π}{12} < x < \frac{13 π}{12}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 11.2.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$5 \sin (2 (2)) + 3 > \frac{11}{2}$

Paso 11.2.3

$- 0.78401247$ del lado izquierdo no es mayor que $5.5$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $\frac{13 π}{12} < x < \frac{17 π}{12}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{13 π}{12} < x < \frac{17 π}{12}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 11.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$5 \sin (2 (4)) + 3 > \frac{11}{2}$

Paso 11.3.3

$7.94679123$ del lado izquierdo es mayor que $5.5$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 11.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$\frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12}$ Verdadero

$\frac{5 π}{12} < x < \frac{13 π}{12}$ Falso

$\frac{13 π}{12} < x < \frac{17 π}{12}$ Verdadero

$\frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12}$ Verdadero

$\frac{5 π}{12} < x < \frac{13 π}{12}$ Falso

$\frac{13 π}{12} < x < \frac{17 π}{12}$ Verdadero

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$\frac{π}{12} + π n < x < \frac{5 π}{12} + π n$ o $\frac{13 π}{12} + π n < x < \frac{17 π}{12} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 13

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(\frac{13 π}{12} + π n, \frac{17 π}{12} + π n) \cup (\frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n)$

Paso 14