Cálculo Ejemplos

${(\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5}))}^{3}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Evalúa $\cos (\frac{3 π}{5})$ .

${(- 0.30901699 + i \sin (\frac{3 π}{5}))}^{3}$

Paso 1.2

Evalúa $\sin (\frac{3 π}{5})$ .

${(- 0.30901699 + i \cdot 0.95105651)}^{3}$

Paso 1.3

Mueve $0.95105651$ a la izquierda de $i$ .

${(- 0.30901699 + 0.95105651 i)}^{3}$

Paso 2

Usa el teorema del binomio.

${(- 0.30901699)}^{3} + 3 {(- 0.30901699)}^{2} (0.95105651 i) + 3 \cdot - 0.30901699 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Eleva $- 0.30901699$ a la potencia de $3$ .

$- 0.02950849 + 3 {(- 0.30901699)}^{2} (0.95105651 i) + 3 \cdot - 0.30901699 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Paso 3.1.2

Eleva $- 0.30901699$ a la potencia de $2$ .

$- 0.02950849 + 3 \cdot 0.0954915 (0.95105651 i) + 3 \cdot - 0.30901699 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Paso 3.1.3

Multiplica $3$ por $0.0954915$ .

$- 0.02950849 + 0.2864745 (0.95105651 i) + 3 \cdot - 0.30901699 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Paso 3.1.4

Multiplica $0.95105651$ por $0.2864745$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 3 \cdot - 0.30901699 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Paso 3.1.5

Multiplica $3$ por $- 0.30901699$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i - 0.92705098 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Paso 3.1.6

Aplica la regla del producto a $0.95105651 i$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i - 0.92705098 ({0.95105651}^{2} i^{2}) + {(0.95105651 i)}^{3}$

Paso 3.1.7

Eleva $0.95105651$ a la potencia de $2$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i - 0.92705098 (0.90450849 i^{2}) + {(0.95105651 i)}^{3}$

Paso 3.1.8

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i - 0.92705098 (0.90450849 \cdot - 1) + {(0.95105651 i)}^{3}$

Paso 3.1.9

Multiplica $- 0.92705098 (0.90450849 \cdot - 1)$ .

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Paso 3.1.9.1

Multiplica $0.90450849$ por $- 1$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i - 0.92705098 \cdot - 0.90450849 + {(0.95105651 i)}^{3}$

Paso 3.1.9.2

Multiplica $- 0.92705098$ por $- 0.90450849$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + {(0.95105651 i)}^{3}$

Paso 3.1.10

Aplica la regla del producto a $0.95105651 i$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + {0.95105651}^{3} i^{3}$

Paso 3.1.11

Eleva $0.95105651$ a la potencia de $3$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + 0.8602387 i^{3}$

Paso 3.1.12

Factoriza $i^{2}$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + 0.8602387 (i^{2} \cdot i)$

Paso 3.1.13

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + 0.8602387 (- 1 \cdot i)$

Paso 3.1.14

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + 0.8602387 (- i)$

Paso 3.1.15

Multiplica $- 1$ por $0.8602387$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 - 0.8602387 i$

Paso 3.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.2.1

Suma $- 0.02950849$ y $0.83852549$ .

$0.80901699 + 0.27245344 i - 0.8602387 i$

Paso 3.2.2

Resta $0.8602387 i$ de $0.27245344 i$ .

$0.80901699 - 0.58778525 i$

Paso 4

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 5

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 6

Sustituye los valores reales de $a = 0.80901699$ y $b = - 0.58778525$ .

$| z | = \sqrt{{(- 0.58778525)}^{2} + {0.80901699}^{2}}$

Paso 7

Obtén $| z |$ .

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Paso 7.1

Eleva $- 0.58778525$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{0.3454915 + {0.80901699}^{2}}$

Paso 7.2

Eleva $0.80901699$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{0.3454915 + 0.65450849}$

Paso 7.3

Suma $0.3454915$ y $0.65450849$ .

$| z | = \sqrt{1}$

Paso 7.4

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$| z | = \sqrt{1^{2}}$

Paso 7.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| z | = 1$

Paso 8

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{- 0.58778525}{0.80901699})$

Paso 9

Como la tangente inversa de $\frac{- 0.58778525}{0.80901699}$ produce un ángulo en el cuarto cuadrante, el valor del ángulo es $- \frac{π}{5}$ .

$θ = - \frac{π}{5}$

Paso 10

Sustituye los valores de $θ = - \frac{π}{5}$ y $| z | = 1$ .

$1 (\cos (- \frac{π}{5}) + i \sin (- \frac{π}{5}))$