Cálculo Ejemplos

$x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Paso 1

Escribe $x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ como una función.

$f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{4}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = \frac{x}{2} - 5$ .

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Paso 2.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{2} - 5$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = x (4 u^{3} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{2} - 5$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.3

Diferencia.

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Paso 2.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x}{2} - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.3.2

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.3.4

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.3.5

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} + 0)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.3.6

Simplifica los términos.

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Paso 2.1.3.6.1

Suma $\frac{1}{2}$ y $0$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2})) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.3.6.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$f' (x) = x (\frac{4}{2} \cdot {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.3.6.3

Combina $\frac{4}{2}$ y ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f' (x) = x (\frac{4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.3.6.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 2.1.3.6.4.1

Factoriza $2$ de $4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f' (x) = x (\frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.3.6.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.3.6.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f' (x) = x (\frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2 (1)}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.3.6.4.2.2

Cancela el factor común.

$f' (x) = x (\frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2 \cdot 1}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.3.6.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = x (\frac{2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{1}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.3.6.4.2.4

Divide $2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ por $1$ .

$f' (x) = x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \cdot 1$

Paso 2.1.3.8

Multiplica ${(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ por $1$ .

$f' (x) = x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Paso 2.1.4

Simplifica.

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Paso 2.1.4.1

Factoriza ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ de $x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ .

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Paso 2.1.4.1.1

Reordena $x$ y $2$ .

$f' (x) = 2 \cdot (x {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Paso 2.1.4.1.2

Factoriza ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ de $2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Paso 2.1.4.1.3

Factoriza ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ de ${(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{x}{2} - 5)$

Paso 2.1.4.1.4

Factoriza ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ de ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{x}{2} - 5)$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x + \frac{x}{2} - 5)$

Paso 2.1.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.1.4.2.1

Para escribir $2 x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2} - 5)$

Paso 2.1.4.2.2

Combina $2 x$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2}{2} + \frac{x}{2} - 5)$

Paso 2.1.4.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2 + x}{2} - 5)$

Paso 2.1.4.2.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{4 x + x}{2} - 5)$

Paso 2.1.4.2.5

Suma $4 x$ y $x$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ y $g (x) = \frac{5 x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (\frac{5 x}{2} - 5) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Paso 2.2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{5 x}{2} - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{5 x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} (\frac{5 x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Paso 2.2.2.2

Como $\frac{5}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{5 x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Paso 2.2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Paso 2.2.2.4

Multiplica $\frac{5}{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Paso 2.2.2.5

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} + 0) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Paso 2.2.2.6

Combina fracciones.

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Paso 2.2.2.6.1

Suma $\frac{5}{2}$ y $0$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2}) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Paso 2.2.2.6.2

Combina ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ y $\frac{5}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \cdot 5}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Paso 2.2.2.6.3

Mueve $5$ a la izquierda de ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 \cdot {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \frac{x}{2} - 5$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5))$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5))$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5))$

Paso 2.2.4

Diferencia.

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Paso 2.2.4.1

Mueve $3$ a la izquierda de $\frac{5 x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 \cdot ((\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)$

Paso 2.2.4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x}{2} - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 5))$

Paso 2.2.4.3

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))$

Paso 2.2.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5))$

Paso 2.2.4.5

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} (- 5))$

Paso 2.2.4.6

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} + 0)$

Paso 2.2.4.7

Combina fracciones.

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Paso 2.2.4.7.1

Suma $\frac{1}{2}$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2})$

Paso 2.2.4.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $3$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{3}{2} \cdot ((\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})$

Paso 2.2.4.7.3

Combina ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ y $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} \cdot 3}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)$

Paso 2.2.4.7.4

Mueve $3$ a la izquierda de ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{3 \cdot {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)$

Paso 2.2.5

Para escribir $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5) \cdot \frac{2}{2}$

Paso 2.2.6

Combina $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5) \cdot 2}{2}$

Paso 2.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5) \cdot 2}{2}$

Paso 2.2.8

Combina $2$ y $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Paso 2.2.9

Multiplica $3$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{6 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Paso 2.2.10

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.10.1

Factoriza $2$ de $6 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Paso 2.2.10.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.10.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2 (1)} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Paso 2.2.10.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2 \cdot 1} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Paso 2.2.10.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{1} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Paso 2.2.10.2.4

Divide $3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + 3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Paso 2.2.11

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.11.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.11.1.1

Factoriza ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ de $5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + 3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.11.1.1.1

Factoriza ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ de $5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5)) + 3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Paso 2.2.11.1.1.2

Factoriza ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ de $3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Paso 2.2.11.1.1.3

Factoriza ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ de ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (3 (\frac{5 x}{2} - 5))$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5) + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Paso 2.2.11.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2}) + 5 \cdot - 5 + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Paso 2.2.11.1.3

Combina $5$ y $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} + 5 \cdot - 5 + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Paso 2.2.11.1.4

Multiplica $5$ por $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Paso 2.2.11.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + 3 (\frac{5 x}{2}) + 3 \cdot - 5)}{2}$

Paso 2.2.11.1.6

Multiplica $3 \frac{5 x}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.11.1.6.1

Combina $3$ y $\frac{5 x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + \frac{3 (5 x)}{2} + 3 \cdot - 5)}{2}$

Paso 2.2.11.1.6.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + \frac{15 x}{2} + 3 \cdot - 5)}{2}$

Paso 2.2.11.1.7

Multiplica $3$ por $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + \frac{15 x}{2} - 15)}{2}$

Paso 2.2.11.1.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 25 - 15)}{2}$

Paso 2.2.11.1.9

Resta $15$ de $- 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Paso 2.2.11.1.10

Para escribir $- 5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Paso 2.2.11.1.11

Combina $- 5$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Paso 2.2.11.1.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 5 \cdot 2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Paso 2.2.11.1.13

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Paso 2.2.11.1.14

Suma $5 x$ y $15 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{20 x}{2} - 40)}{2}$

Paso 2.2.11.1.15

Cancela el factor común de $20$ y $2$ .

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Paso 2.2.11.1.15.1

Factoriza $2$ de $20 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2} - 40)}{2}$

Paso 2.2.11.1.15.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.11.1.15.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2 (1)} - 40)}{2}$

Paso 2.2.11.1.15.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2 \cdot 1} - 40)}{2}$

Paso 2.2.11.1.15.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{10 x}{1} - 40)}{2}$

Paso 2.2.11.1.15.2.4

Divide $10 x$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (10 x - 40)}{2}$

Paso 2.2.11.1.16

Aplica la regla del producto a $\frac{x - 10}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 x - 40)}{2}$

Paso 2.2.11.1.17

Factoriza $10$ de $10 x - 40$ .

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Paso 2.2.11.1.17.1

Factoriza $10$ de $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 (x) - 40)}{2}$

Paso 2.2.11.1.17.2

Factoriza $10$ de $- 40$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 x + 10 \cdot - 4)}{2}$

Paso 2.2.11.1.17.3

Factoriza $10$ de $10 x + 10 \cdot - 4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 (x - 4))}{2}$

Paso 2.2.11.1.18

Combina $\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}}$ y $10$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2} \cdot 10}{2^{2}} \cdot (x - 4)}{2}$

Paso 2.2.11.1.19

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2} \cdot 10}{4} \cdot (x - 4)}{2}$

Paso 2.2.11.1.20

Cancela el factor común de $10$ y $4$ .

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Paso 2.2.11.1.20.1

Factoriza $2$ de ${(x - 10)}^{2} \cdot 10$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ({(x - 10)}^{2} \cdot 5)}{4} \cdot (x - 4)}{2}$

Paso 2.2.11.1.20.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.11.1.20.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ({(x - 10)}^{2} \cdot 5)}{2 (2)} \cdot (x - 4)}{2}$

Paso 2.2.11.1.20.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ({(x - 10)}^{2} \cdot 5)}{2 \cdot 2} \cdot (x - 4)}{2}$

Paso 2.2.11.1.20.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2} \cdot 5}{2} \cdot (x - 4)}{2}$

Paso 2.2.11.1.21

Mueve $5$ a la izquierda de ${(x - 10)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2} \cdot (x - 4)}{2}$

Paso 2.2.11.2

Reordena los términos.

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2})}{2}$

Paso 2.2.11.3

Factoriza $\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2}$ de $\frac{(x - 4) \frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2} \cdot \frac{x - 4}{2}$

Paso 2.2.11.4

Multiplica $\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2} \cdot \frac{x - 4}{2}$ .

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Paso 2.2.11.4.1

Multiplica $\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2}$ por $\frac{x - 4}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{2 \cdot 2}$

Paso 2.2.11.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4}$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4}$ .

$\frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4}$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4} = 0$

Paso 3.2

Establece el numerador igual a cero.

$5 {(x - 10)}^{2} (x - 4) = 0$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 3.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(x - 10)}^{2} = 0$

$x - 4 = 0$

Paso 3.3.2

Establece ${(x - 10)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.2.1

Establece ${(x - 10)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x - 10)}^{2} = 0$

Paso 3.3.2.2

Resuelve ${(x - 10)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.3.2.2.1

Establece $x - 10$ igual a $0$ .

$x - 10 = 0$

Paso 3.3.2.2.2

Suma $10$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 10$

Paso 3.3.3

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.3.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 3.3.3.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 3.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $5 {(x - 10)}^{2} (x - 4) = 0$ verdadera.

$x = 10, 4$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $10$ en $f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $10$ en la expresión.

$f (10) = (10) {(\frac{10}{2} - 5)}^{4}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Divide $10$ por $2$ .

$f (10) = 10 {(5 - 5)}^{4}$

Paso 4.1.2.2

Resta $5$ de $5$ .

$f (10) = 10 \cdot 0^{4}$

Paso 4.1.2.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (10) = 10 \cdot 0$

Paso 4.1.2.4

Multiplica $10$ por $0$ .

$f (10) = 0$

Paso 4.1.2.5

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $10$ en $f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ es $(10, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(10, 0)$

Paso 4.3

Sustituye $4$ en $f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = (4) {(\frac{4}{2} - 5)}^{4}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Divide $4$ por $2$ .

$f (4) = 4 {(2 - 5)}^{4}$

Paso 4.3.2.2

Resta $5$ de $2$ .

$f (4) = 4 {(- 3)}^{4}$

Paso 4.3.2.3

Eleva $- 3$ a la potencia de $4$ .

$f (4) = 4 \cdot 81$

Paso 4.3.2.4

Multiplica $4$ por $81$ .

$f (4) = 324$

Paso 4.3.2.5

La respuesta final es $324$ .

$324$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $4$ en $f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ es $(4, 324)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(4, 324)$

Paso 4.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(10, 0), (4, 324)$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, 4) \cup (4, 10) \cup (10, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 4)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $3.9$ en la expresión.

$f'' (3.9) = \frac{5 {((3.9) - 10)}^{2} ((3.9) - 4)}{4}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1.1

Resta $10$ de $3.9$ .

$f'' (3.9) = \frac{5 {(- 6.1)}^{2} (3.9 - 4)}{4}$

Paso 6.2.1.2

Resta $4$ de $3.9$ .

$f'' (3.9) = \frac{5 {(- 6.1)}^{2} \cdot - 0.1}{4}$

Paso 6.2.1.3

Combina exponentes.

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Paso 6.2.1.3.1

Multiplica $- 0.1$ por $5$ .

$f'' (3.9) = \frac{- 0.5 {(- 6.1)}^{2}}{4}$

Paso 6.2.1.3.2

Multiplica $- 0.5$ por ${(- 6.1)}^{2}$ .

$f'' (3.9) = \frac{- 18.605}{4}$

Paso 6.2.2

Divide $- 18.605$ por $4$ .

$f'' (3.9) = - 4.65125$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 4.65125$ .

$- 4.65125$

Paso 6.3

En $3.9$ , la segunda derivada es $- 4.65125$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, 4)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 4)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(4, 10)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $7$ en la expresión.

$f'' (7) = \frac{5 {((7) - 10)}^{2} ((7) - 4)}{4}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.1.1

Resta $10$ de $7$ .

$f'' (7) = \frac{5 {(- 3)}^{2} (7 - 4)}{4}$

Paso 7.2.1.2

Resta $4$ de $7$ .

$f'' (7) = \frac{5 {(- 3)}^{2} \cdot 3}{4}$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $3$ por $5$ .

$f'' (7) = \frac{15 {(- 3)}^{2}}{4}$

Paso 7.2.1.4

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f'' (7) = \frac{15 \cdot 9}{4}$

Paso 7.2.2

Multiplica $15$ por $9$ .

$f'' (7) = \frac{135}{4}$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $\frac{135}{4}$ .

$\frac{135}{4}$

Paso 7.3

En $7$ , la segunda derivada es $33.75$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(4, 10)$ .

Incremento en $(4, 10)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(10, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $10.1$ en la expresión.

$f'' (10.1) = \frac{5 {((10.1) - 10)}^{2} ((10.1) - 4)}{4}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.1.1

Resta $10$ de $10.1$ .

$f'' (10.1) = \frac{5 \cdot ({0.1}^{2} (10.1 - 4))}{4}$

Paso 8.2.1.2

Resta $4$ de $10.1$ .

$f'' (10.1) = \frac{5 \cdot {0.1}^{2} \cdot 6.1}{4}$

Paso 8.2.1.3

Combina exponentes.

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Paso 8.2.1.3.1

Multiplica $6.1$ por $5$ .

$f'' (10.1) = \frac{30.5 \cdot {0.1}^{2}}{4}$

Paso 8.2.1.3.2

Multiplica $30.5$ por ${0.1}^{2}$ .

$f'' (10.1) = \frac{0.305}{4}$

Paso 8.2.2

Divide $0.305$ por $4$ .

$f'' (10.1) = 0.07625$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $0.07625$ .

$0.07625$

Paso 8.3

En $10.1$ , la segunda derivada es $0.07625$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(10, \infty)$ .

Incremento en $(10, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 9

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(4, 324)$ .

$(4, 324)$

Paso 10