Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{10} x^{5} + \frac{1}{2} x^{4} - \frac{3}{10}$

Paso 1

Escribe $\frac{1}{10} x^{5} + \frac{1}{2} x^{4} - \frac{3}{10}$ como una función.

$f (x) = \frac{1}{10} x^{5} + \frac{1}{2} x^{4} - \frac{3}{10}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{10} x^{5} + \frac{1}{2} x^{4} - \frac{3}{10}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{10} x^{5}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{2} x^{4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{10})$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $\frac{1}{10}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{10} x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{10} \cdot \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{2} x^{4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{10})$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$f' (x) = \frac{1}{10} \cdot (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{2} x^{4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{10})$

Paso 2.1.2.3

Combina $5$ y $\frac{1}{10}$ .

$f' (x) = \frac{5}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{2} x^{4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{10})$

Paso 2.1.2.4

Combina $\frac{5}{10}$ y $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{2} x^{4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{10})$

Paso 2.1.2.5

Cancela el factor común de $5$ y $10$ .

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Paso 2.1.2.5.1

Factoriza $5$ de $5 x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{5 (x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{2} x^{4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{10})$

Paso 2.1.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.5.2.1

Factoriza $5$ de $10$ .

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{2} x^{4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{10})$

Paso 2.1.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{2} x^{4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{10})$

Paso 2.1.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{2} x^{4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{10})$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2} x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{10})$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{10})$

Paso 2.1.3.3

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{10})$

Paso 2.1.3.4

Combina $\frac{4}{2}$ y $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{10})$

Paso 2.1.3.5

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 2.1.3.5.1

Factoriza $2$ de $4 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{10})$

Paso 2.1.3.5.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.5.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f' (x) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{10})$

Paso 2.1.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{10})$

Paso 2.1.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{10})$

Paso 2.1.3.5.2.4

Divide $2 x^{3}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{4}}{2} + 2 x^{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{10})$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.4.1

Como $- \frac{3}{10}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{3}{10}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{4}}{2} + 2 x^{3} + 0$

Paso 2.1.4.2

Suma $\frac{x^{4}}{2} + 2 x^{3}$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{4}}{2} + 2 x^{3}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{4}}{2} + 2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{4}}{2}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}]$ .

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Paso 2.2.2.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{4}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Paso 2.2.2.3

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Paso 2.2.2.4

Combina $\frac{4}{2}$ y $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Paso 2.2.2.5

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 2.2.2.5.1

Factoriza $2$ de $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Paso 2.2.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.5.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Paso 2.2.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Paso 2.2.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Paso 2.2.2.5.2.4

Divide $2 x^{3}$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Paso 2.2.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 2 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 2 x^{3} + 2 (3 x^{2})$

Paso 2.2.3.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$f'' (x) = 2 x^{3} + 6 x^{2}$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 x^{3} + 6 x^{2}$ .

$2 x^{3} + 6 x^{2}$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $2 x^{3} + 6 x^{2} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$2 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Paso 3.2

Factoriza $2 x^{2}$ de $2 x^{3} + 6 x^{2}$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $2 x^{2}$ de $2 x^{3}$ .

$2 x^{2} (x) + 6 x^{2} = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza $2 x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$2 x^{2} (x) + 2 x^{2} (3) = 0$

Paso 3.2.3

Factoriza $2 x^{2}$ de $2 x^{2} (x) + 2 x^{2} (3)$ .

$2 x^{2} (x + 3) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 3.4

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 3.4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 3.4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 3.4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 3.5

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 3.5.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 x^{2} (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 3$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $0$ en $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} + \frac{1}{2} x^{4} - \frac{3}{10}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{1}{10} \cdot {(0)}^{5} + \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{4} - \frac{3}{10}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \frac{1}{10} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{4} - \frac{3}{10}$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $\frac{1}{10}$ por $0$ .

$f (0) = 0 + \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{4} - \frac{3}{10}$

Paso 4.1.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{3}{10}$

Paso 4.1.2.1.4

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - \frac{3}{10}$

Paso 4.1.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 4.1.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 - \frac{3}{10}$

Paso 4.1.2.2.2

Resta $\frac{3}{10}$ de $0$ .

$f (0) = - \frac{3}{10}$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $- \frac{3}{10}$ .

$- \frac{3}{10}$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} + \frac{1}{2} x^{4} - \frac{3}{10}$ es $(0, - \frac{3}{10})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, - \frac{3}{10})$

Paso 4.3

Sustituye $- 3$ en $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} + \frac{1}{2} x^{4} - \frac{3}{10}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f (- 3) = \frac{1}{10} \cdot {(- 3)}^{5} + \frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{4} - \frac{3}{10}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $5$ .

$f (- 3) = \frac{1}{10} \cdot - 243 + \frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{4} - \frac{3}{10}$

Paso 4.3.2.1.2

Combina $\frac{1}{10}$ y $- 243$ .

$f (- 3) = \frac{- 243}{10} + \frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{4} - \frac{3}{10}$

Paso 4.3.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + \frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{4} - \frac{3}{10}$

Paso 4.3.2.1.4

Eleva $- 3$ a la potencia de $4$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + \frac{1}{2} \cdot 81 - \frac{3}{10}$

Paso 4.3.2.1.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $81$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + \frac{81}{2} - \frac{3}{10}$

Paso 4.3.2.2

Combina fracciones.

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Paso 4.3.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 3) = \frac{- 243 - 3}{10} + \frac{81}{2}$

Paso 4.3.2.2.2

Resta $3$ de $- 243$ .

$f (- 3) = \frac{- 246}{10} + \frac{81}{2}$

Paso 4.3.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.3.1

Cancela el factor común de $- 246$ y $10$ .

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Paso 4.3.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 246$ .

$f (- 3) = \frac{2 (- 123)}{10} + \frac{81}{2}$

Paso 4.3.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$f (- 3) = \frac{2 \cdot - 123}{2 \cdot 5} + \frac{81}{2}$

Paso 4.3.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$f (- 3) = \frac{2 \cdot - 123}{2 \cdot 5} + \frac{81}{2}$

Paso 4.3.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- 3) = \frac{- 123}{5} + \frac{81}{2}$

Paso 4.3.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 3) = - \frac{123}{5} + \frac{81}{2}$

Paso 4.3.2.4

Para escribir $- \frac{123}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = - \frac{123}{5} \cdot \frac{2}{2} + \frac{81}{2}$

Paso 4.3.2.5

Para escribir $\frac{81}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = - \frac{123}{5} \cdot \frac{2}{2} + \frac{81}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 4.3.2.6

Escribe cada expresión con un denominador común de $10$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.3.2.6.1

Multiplica $\frac{123}{5}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = - \frac{123 \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{81}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 4.3.2.6.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$f (- 3) = - \frac{123 \cdot 2}{10} + \frac{81}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 4.3.2.6.3

Multiplica $\frac{81}{2}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = - \frac{123 \cdot 2}{10} + \frac{81 \cdot 5}{2 \cdot 5}$

Paso 4.3.2.6.4

Multiplica $2$ por $5$ .

$f (- 3) = - \frac{123 \cdot 2}{10} + \frac{81 \cdot 5}{10}$

Paso 4.3.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 3) = \frac{- 123 \cdot 2 + 81 \cdot 5}{10}$

Paso 4.3.2.8

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.8.1

Multiplica $- 123$ por $2$ .

$f (- 3) = \frac{- 246 + 81 \cdot 5}{10}$

Paso 4.3.2.8.2

Multiplica $81$ por $5$ .

$f (- 3) = \frac{- 246 + 405}{10}$

Paso 4.3.2.8.3

Suma $- 246$ y $405$ .

$f (- 3) = \frac{159}{10}$

Paso 4.3.2.9

La respuesta final es $\frac{159}{10}$ .

$\frac{159}{10}$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 3$ en $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} + \frac{1}{2} x^{4} - \frac{3}{10}$ es $(- 3, \frac{159}{10})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 3, \frac{159}{10})$

Paso 4.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, - \frac{3}{10}), (- 3, \frac{159}{10})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 3)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3.1$ en la expresión.

$f'' (- 3.1) = 2 {(- 3.1)}^{3} + 6 {(- 3.1)}^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 3.1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 3.1) = 2 \cdot - 29.791 + 6 {(- 3.1)}^{2}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $2$ por $- 29.791$ .

$f'' (- 3.1) = - 59.582 + 6 {(- 3.1)}^{2}$

Paso 6.2.1.3

Eleva $- 3.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 3.1) = - 59.582 + 6 \cdot 9.61$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $6$ por $9.61$ .

$f'' (- 3.1) = - 59.582 + 57.66$

Paso 6.2.2

Suma $- 59.582$ y $57.66$ .

$f'' (- 3.1) = - 1.922$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 1.922$ .

$- 1.922$

Paso 6.3

En $- 3.1$ , la segunda derivada es $- 1.922$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - 3)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 3)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 3, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{3}{2}$ en la expresión.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 7.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (- \frac{27}{2^{3}}) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (- \frac{27}{8}) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{27}{8}$ al numerador.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{- 27}{8}) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.5.2

Factoriza $2$ de $8$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{- 27}{2 (4)}) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.5.3

Cancela el factor común.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{- 27}{2 \cdot 4}) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.5.4

Reescribe la expresión.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27}{4} + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.7

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 7.2.1.7.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})$

Paso 7.2.1.7.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 6 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

Paso 7.2.1.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 6 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

Paso 7.2.1.9

Multiplica $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 6 (\frac{3^{2}}{2^{2}})$

Paso 7.2.1.10

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 6 (\frac{9}{2^{2}})$

Paso 7.2.1.11

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 6 (\frac{9}{4})$

Paso 7.2.1.12

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.1.12.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 2 (3) (\frac{9}{4})$

Paso 7.2.1.12.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 2 \cdot (3 (\frac{9}{2 \cdot 2}))$

Paso 7.2.1.12.3

Cancela el factor común.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 2 \cdot (3 (\frac{9}{2 \cdot 2}))$

Paso 7.2.1.12.4

Reescribe la expresión.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 3 (\frac{9}{2})$

Paso 7.2.1.13

Combina $3$ y $\frac{9}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + \frac{3 \cdot 9}{2}$

Paso 7.2.1.14

Multiplica $3$ por $9$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + \frac{27}{2}$

Paso 7.2.2

Para escribir $\frac{27}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + \frac{27}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 7.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.2.3.1

Multiplica $\frac{27}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + \frac{27 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Paso 7.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + \frac{27 \cdot 2}{4}$

Paso 7.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 27 \cdot 2}{4}$

Paso 7.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.5.1

Multiplica $27$ por $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 54}{4}$

Paso 7.2.5.2

Suma $- 27$ y $54$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{4}$

Paso 7.2.6

La respuesta final es $\frac{27}{4}$ .

$\frac{27}{4}$

Paso 7.3

En $- \frac{3}{2}$ , la segunda derivada es $6.75$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- 3, 0)$ .

Incremento en $(- 3, 0)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.1$ en la expresión.

$f'' (0.1) = 2 {(0.1)}^{3} + 6 {(0.1)}^{2}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $0.1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0.1) = 2 \cdot 0.001 + 6 {(0.1)}^{2}$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $2$ por $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.002 + 6 {(0.1)}^{2}$

Paso 8.2.1.3

Eleva $0.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.1) = 0.002 + 6 \cdot 0.01$

Paso 8.2.1.4

Multiplica $6$ por $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.002 + 0.06$

Paso 8.2.2

Suma $0.002$ y $0.06$ .

$f'' (0.1) = 0.062$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $0.062$ .

$0.062$

Paso 8.3

En $0.1$ , la segunda derivada es $0.062$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(0, \infty)$ .

Incremento en $(0, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 9

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(- 3, \frac{159}{10})$ .

$(- 3, \frac{159}{10})$

Paso 10