Cálculo Ejemplos

$r^{2} = a^{2} \cos (2 θ)$

Paso 1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1

Simplifica $a^{2} \cos (2 θ)$ .

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Paso 1.1.1

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$r^{2} = a^{2} (2 \cos^{2} (θ) - 1)$

Paso 1.1.2

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$r^{2} = a^{2} (2 \cos^{2} (θ)) + a^{2} \cdot - 1$

Paso 1.1.2.2

Reordena.

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Paso 1.1.2.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$r^{2} = 2 a^{2} \cos^{2} (θ) + a^{2} \cdot - 1$

Paso 1.1.2.2.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $a^{2}$ .

$r^{2} = 2 a^{2} \cos^{2} (θ) - 1 \cdot a^{2}$

Paso 1.1.3

Reescribe $- 1 a^{2}$ como $- a^{2}$ .

$r^{2} = 2 a^{2} \cos^{2} (θ) - a^{2}$

Paso 2

Dado que $\cos (θ) = \frac{x}{r}$ , reemplaza $\cos (θ)$ por $\frac{x}{r}$ .

$r^{2} = 2 a^{2} {(\frac{x}{r})}^{2} - a^{2}$

Paso 3

Dado que $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ , reemplaza $r^{2}$ por $x^{2} + y^{2}$ y $r$ por $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} = 2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - a^{2}$

Paso 4

Escribe en ecuación ordinaria.

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Paso 4.1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1.1

Resta $2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} = - a^{2}$

Paso 4.1.2

Suma $a^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

Paso 4.2

Simplifica $x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} + a^{2}$ .

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

Paso 4.2.1.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1.2.1

Multiplica $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} \sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

Paso 4.2.1.2.2

Eleva $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} \sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

Paso 4.2.1.2.3

Eleva $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} {\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1}})}^{2} + a^{2} = 0$

Paso 4.2.1.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1 + 1}})}^{2} + a^{2} = 0$

Paso 4.2.1.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}})}^{2} + a^{2} = 0$

Paso 4.2.1.2.6

Reescribe ${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}$ como $x^{2} + y^{2}$ .

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Paso 4.2.1.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ como ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} + a^{2} = 0$

Paso 4.2.1.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} + a^{2} = 0$

Paso 4.2.1.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

Paso 4.2.1.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

Paso 4.2.1.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{1}})}^{2} + a^{2} = 0$

Paso 4.2.1.2.6.5

Simplifica.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}})}^{2} + a^{2} = 0$

Paso 4.2.1.3

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.2.1.3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{{(x \sqrt{x^{2} + y^{2}})}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

Paso 4.2.1.3.2

Aplica la regla del producto a $x \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

Paso 4.2.1.4

Reescribe ${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}$ como $x^{2} + y^{2}$ .

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Paso 4.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ como ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

Paso 4.2.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

Paso 4.2.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

Paso 4.2.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

Paso 4.2.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

Paso 4.2.1.4.5

Simplifica.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

Paso 4.2.1.5

Cancela el factor común de $x^{2} + y^{2}$ y ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ .

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Paso 4.2.1.5.1

Factoriza $x^{2} + y^{2}$ de $x^{2} (x^{2} + y^{2})$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

Paso 4.2.1.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.1.5.2.1

Factoriza $x^{2} + y^{2}$ de ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})} + a^{2} = 0$

Paso 4.2.1.5.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})} + a^{2} = 0$

Paso 4.2.1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Paso 4.2.1.6

Multiplica $- 2 a^{2} \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

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Paso 4.2.1.6.1

Combina $- 2$ y $\frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} + a^{2} \frac{- 2 x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Paso 4.2.1.6.2

Combina $a^{2}$ y $\frac{- 2 x^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} + \frac{a^{2} (- 2 x^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Paso 4.2.1.7

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x^{2} + y^{2} + \frac{a^{2} \cdot - 2 x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Paso 4.2.1.8

Mueve $- 2$ a la izquierda de $a^{2}$ .

$x^{2} + y^{2} + \frac{- 2 \cdot a^{2} x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Paso 4.2.1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} + y^{2} - \frac{2 a^{2} x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Paso 4.2.2

Para escribir $x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$y^{2} + \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} - \frac{2 a^{2} x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Paso 4.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y^{2} + \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2}) - 2 a^{2} x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Paso 4.2.4

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (x^{2} + y^{2}) - 2 a^{2} x^{2}$ .

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Paso 4.2.4.1

Factoriza $x^{2}$ de $- 2 a^{2} x^{2}$ .

$y^{2} + \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2}) + x^{2} (- 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Paso 4.2.4.2

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (x^{2} + y^{2}) + x^{2} (- 2 a^{2})$ .

$y^{2} + \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Paso 4.2.5

Para escribir $y^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{y^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} + \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Paso 4.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{y^{2} (x^{2} + y^{2}) + x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Paso 4.2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2} + x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Paso 4.2.7.2

Multiplica $y^{2}$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.7.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{2 + 2} + x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Paso 4.2.7.2.2

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{4} + x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Paso 4.2.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{4} + x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2} + x^{2} (- 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Paso 4.2.7.4

Simplifica.

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Paso 4.2.7.4.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.7.4.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{4} + x^{2 + 2} + x^{2} y^{2} + x^{2} (- 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Paso 4.2.7.4.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{4} + x^{4} + x^{2} y^{2} + x^{2} (- 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Paso 4.2.7.4.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{4} + x^{4} + x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Paso 4.2.7.5

Suma $y^{2} x^{2}$ y $x^{2} y^{2}$ .

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Paso 4.2.7.5.1

Reordena $y^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{y^{4} + x^{4} + x^{2} y^{2} + x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Paso 4.2.7.5.2

Suma $x^{2} y^{2}$ y $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Paso 4.2.8

Para escribir $a^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{a^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = 0$

Paso 4.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2} + a^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = 0$

Paso 4.2.10

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2} + a^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = 0$

Paso 4.2.10.2

Suma $- 2 x^{2} a^{2}$ y $a^{2} x^{2}$ .

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Paso 4.2.10.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 a^{2} x^{2} + a^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = 0$

Paso 4.2.10.2.2

Suma $- 2 a^{2} x^{2}$ y $a^{2} x^{2}$ .

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - a^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = 0$

Paso 5