Cálculo Ejemplos

$x^{2} e^{3 x}$

Paso 1

Escribe $x^{2} e^{3 x}$ como una función.

$f (x) = x^{2} e^{3 x}$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{3 x}$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 2.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 2.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 2.1.3

Diferencia.

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Paso 2.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x))) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 2.1.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.3.3.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 2.1.3.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{3 x}$ .

$f' (x) = x^{2} (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 2.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)$

Paso 2.1.4

Simplifica.

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Paso 2.1.4.1

Reordena los términos.

$f' (x) = 3 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x} x$

Paso 2.1.4.2

Reordena los factores en $3 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x} x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$ .

$3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x} = 0$

Paso 3.2

Factoriza $x e^{3 x}$ de $3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $x e^{3 x}$ de $3 x^{2} e^{3 x}$ .

$x e^{3 x} (3 x) + 2 x e^{3 x} = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza $x e^{3 x}$ de $2 x e^{3 x}$ .

$x e^{3 x} (3 x) + x e^{3 x} (2) = 0$

Paso 3.2.3

Factoriza $x e^{3 x}$ de $x e^{3 x} (3 x) + x e^{3 x} (2)$ .

$x e^{3 x} (3 x + 2) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$e^{3 x} = 0$

$3 x + 2 = 0$

Paso 3.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 3.5

Establece $e^{3 x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $e^{3 x}$ igual a $0$ .

$e^{3 x} = 0$

Paso 3.5.2

Resuelve $e^{3 x} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.5.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{3 x}) = \ln (0)$

Paso 3.5.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 3.5.2.3

No hay soluciones para $e^{3 x} = 0$

No hay solución

Paso 3.6

Establece $3 x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.6.1

Establece $3 x + 2$ igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Paso 3.6.2

Resuelve $3 x + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.6.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 2$

Paso 3.6.2.2

Divide cada término en $3 x = - 2$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.6.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Paso 3.6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Paso 3.6.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Paso 3.6.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2}{3}$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $x e^{3 x} (3 x + 2) = 0$ verdadera.

$x = 0, - \frac{2}{3}$

Paso 4

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0, - \frac{2}{3}$ .

$0, - \frac{2}{3}$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - \frac{2}{3})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.6666667$ en la expresión.

$f' (- 1.6666667) = 3 {(- 1.6666667)}^{2} e^{3 (- 1.6666667)} + 2 (- 1.6666667) \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 1.6666667$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1.6666667) = 3 \cdot (2.777777\overline{8} e^{3 (- 1.6666667)}) + 2 (- 1.6666667) \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $3$ por $2.777777\overline{8}$ .

$f' (- 1.6666667) = 8.333333\overline{6} e^{3 (- 1.6666667)} + 2 (- 1.6666667) \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $3$ por $- 1.6666667$ .

$f' (- 1.6666667) = 8.333333\overline{6} e^{- 5.0000001} + 2 (- 1.6666667) \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Paso 6.2.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1.6666667) = 8.333333\overline{6} (\frac{1}{e^{5.0000001}}) + 2 (- 1.6666667) \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Paso 6.2.1.5

Combina $8.333333\overline{6}$ y $\frac{1}{e^{5.0000001}}$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{8.333333\overline{6}}{e^{5.0000001}} + 2 (- 1.6666667) \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Paso 6.2.1.6

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f' (- 1.6666667) = \frac{8.333333\overline{6}}{{2.71828182}^{5.0000001}} + 2 (- 1.6666667) \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Paso 6.2.1.7

Eleva $2.71828182$ a la potencia de $5.0000001$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{8.333333\overline{6}}{148.41317394} + 2 (- 1.6666667) \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Paso 6.2.1.8

Divide $8.333333\overline{6}$ por $148.41317394$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 + 2 (- 1.6666667) \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Paso 6.2.1.9

Multiplica $2$ por $- 1.6666667$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 - 3.3333334 \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Paso 6.2.1.10

Multiplica $3$ por $- 1.6666667$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 - 3.3333334 \cdot e^{- 5.0000001}$

Paso 6.2.1.11

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 - 3.3333334 \cdot \frac{1}{e^{5.0000001}}$

Paso 6.2.1.12

Combina $- 3.3333334$ y $\frac{1}{e^{5.0000001}}$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 + \frac{- 3.3333334}{e^{5.0000001}}$

Paso 6.2.1.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 - \frac{3.3333334}{e^{5.0000001}}$

Paso 6.2.1.14

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 - \frac{3.3333334}{{2.71828182}^{5.0000001}}$

Paso 6.2.1.15

Eleva $2.71828182$ a la potencia de $5.0000001$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 - \frac{3.3333334}{148.41317394}$

Paso 6.2.1.16

Divide $3.3333334$ por $148.41317394$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 - 1 \cdot 0.02245982$

Paso 6.2.1.17

Multiplica $- 1$ por $0.02245982$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 - 0.02245982$

Paso 6.2.2

Resta $0.02245982$ de $0.05614955$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.03368973$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $0.03368973$ .

$0.03368973$

Paso 6.3

En $x = - 1.6666667$ la derivada es $0.03368973$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, - \frac{2}{3})$ .

Incremento en $(- \infty, - \frac{2}{3})$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 0.6666667, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.\overline{3}$ en la expresión.

$f' (- 0.\overline{3}) = 3 {(- 0.\overline{3})}^{2} e^{3 (- 0.\overline{3})} + 2 (- 0.\overline{3}) \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $- 0.\overline{3}$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 3 \cdot (0.11111112 e^{3 (- 0.\overline{3})}) + 2 (- 0.\overline{3}) \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $3$ por $0.11111112$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.33333336 e^{3 (- 0.\overline{3})} + 2 (- 0.\overline{3}) \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $3$ por $- 0.\overline{3}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.33333336 e^{- 1.00000005} + 2 (- 0.\overline{3}) \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Paso 7.2.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.33333336 (\frac{1}{e^{1.00000005}}) + 2 (- 0.\overline{3}) \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Paso 7.2.1.5

Combina $0.33333336$ y $\frac{1}{e^{1.00000005}}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = \frac{0.33333336}{e^{1.00000005}} + 2 (- 0.\overline{3}) \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Paso 7.2.1.6

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f' (- 0.\overline{3}) = \frac{0.33333336}{{2.71828182}^{1.00000005}} + 2 (- 0.\overline{3}) \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Paso 7.2.1.7

Eleva $2.71828182$ a la potencia de $1.00000005$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = \frac{0.33333336}{2.71828196} + 2 (- 0.\overline{3}) \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Paso 7.2.1.8

Divide $0.33333336$ por $2.71828196$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 + 2 (- 0.\overline{3}) \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Paso 7.2.1.9

Multiplica $2$ por $- 0.\overline{3}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 - 0.6666667 \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Paso 7.2.1.10

Multiplica $3$ por $- 0.\overline{3}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 - 0.6666667 \cdot e^{- 1.00000005}$

Paso 7.2.1.11

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 - 0.6666667 \cdot \frac{1}{e^{1.00000005}}$

Paso 7.2.1.12

Combina $- 0.6666667$ y $\frac{1}{e^{1.00000005}}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 + \frac{- 0.6666667}{e^{1.00000005}}$

Paso 7.2.1.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 - \frac{0.6666667}{e^{1.00000005}}$

Paso 7.2.1.14

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 - \frac{0.6666667}{{2.71828182}^{1.00000005}}$

Paso 7.2.1.15

Eleva $2.71828182$ a la potencia de $1.00000005$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 - \frac{0.6666667}{2.71828196}$

Paso 7.2.1.16

Divide $0.6666667$ por $2.71828196$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 - 1 \cdot 0.24525296$

Paso 7.2.1.17

Multiplica $- 1$ por $0.24525296$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 - 0.24525296$

Paso 7.2.2

Resta $0.24525296$ de $0.12262648$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = - 0.12262647$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 0.12262647$ .

$- 0.12262647$

Paso 7.3

En $x = - 0.\overline{3}$ la derivada es $- 0.12262647$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 0.6666667, 0)$ .

Decrecimiento en $(- \frac{2}{3}, 0)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = 3 {(1)}^{2} e^{3 (1)} + 2 (1) \cdot e^{3 (1)}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = 3 \cdot (1 e^{3 (1)}) + 2 (1) \cdot e^{3 (1)}$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$f' (1) = 3 e^{3 (1)} + 2 (1) \cdot e^{3 (1)}$

Paso 8.2.1.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$f' (1) = 3 e^{3} + 2 (1) \cdot e^{3 (1)}$

Paso 8.2.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$f' (1) = 3 e^{3} + 2 \cdot e^{3 (1)}$

Paso 8.2.1.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$f' (1) = 3 e^{3} + 2 e^{3}$

Paso 8.2.2

Suma $3 e^{3}$ y $2 e^{3}$ .

$f' (1) = 5 e^{3}$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $5 e^{3}$ .

$5 e^{3}$

Paso 8.3

En $x = 1$ la derivada es $5 e^{3}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(0, \infty)$ .

Incremento en $(0, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 9

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, - \frac{2}{3}), (0, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \frac{2}{3}, 0)$

Paso 10