Cálculo Ejemplos

$e^{4 x}$

Paso 1

Escribe $e^{4 x}$ como una función.

$f (x) = e^{4 x}$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 2.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 2.1.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 2.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{4 x} (4 \cdot 1)$

Paso 2.1.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.3.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$e^{4 x} \cdot 4$

Paso 2.1.2.3.2

Mueve $4$ a la izquierda de $e^{4 x}$ .

$f' (x) = 4 e^{4 x}$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 e^{4 x}$ .

$4 e^{4 x}$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $4 e^{4 x} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$4 e^{4 x} = 0$

Paso 3.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (4 e^{4 x}) = \ln (0)$

Paso 3.3

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 3.4

No hay soluciones para $4 e^{4 x} = 0$

No hay solución

Paso 4

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos

Paso 5

Ningún punto hace que la derivada $f' (x) = 4 e^{4 x}$ sea igual a $0$ o indefinida. El intervalo para verificar si $f (x) = e^{4 x}$ está aumentando o disminuyendo es $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Paso 6

Sustituye cualquier número, como $1$ , del intervalo $(- \infty, \infty)$ en la derivada $f' (x) = 4 e^{4 x}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo. Si el resultado es negativo, la gráfica está disminuyendo en el intervalo $(- \infty, \infty)$ . Si el resultado es positivo, la gráfica está aumentando en el intervalo $(- \infty, \infty)$ .

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = 4 e^{4 (1)}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$f' (1) = 4 e^{4}$

Paso 6.2.2

La respuesta final es $4 e^{4}$ .

$4 e^{4}$

Paso 7

El resultado de sustituir $1$ en $f' (x) = 4 e^{4 x}$ es $4 e^{4}$ , que es positiva, de modo que la gráfica es creciente en el intervalo $(- \infty, \infty)$ .

Incremento en $(- \infty, \infty)$ ya que $4 e^{4 x} > 0$

Paso 8

Incrementar sobre el intervalo $(- \infty, \infty)$ significa que la función siempre aumenta.

Siempre creciente

Paso 9