Cálculo Ejemplos

$2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$

Paso 1

Escribe $2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$ como una función.

$f (x) = 2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{4}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{\frac{5}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{3}}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{\frac{5}{3}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{\frac{5}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{5}{3}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Paso 2.1.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Paso 2.1.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Paso 2.1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Paso 2.1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Paso 2.1.2.6.2

Resta $3$ de $5$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Paso 2.1.2.7

Combina $\frac{5}{3}$ y $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Paso 2.1.2.8

Combina $2$ y $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Paso 2.1.2.9

Multiplica $5$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{4}{3}}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x^{\frac{4}{3}}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 \frac{d}{d x} x^{\frac{4}{3}}$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{4}{3}$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1})$

Paso 2.1.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 2.1.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 2.1.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 2.1.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}})$

Paso 2.1.3.6.2

Resta $3$ de $4$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.1.3.7

Combina $\frac{4}{3}$ y $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Paso 2.1.3.8

Combina $- 5$ y $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{- 5 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3}$

Paso 2.1.3.9

Multiplica $4$ por $- 5$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{- 20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Paso 2.1.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$

Paso 3.2

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x = 0, 8$

Paso 4

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0, 8$ .

$0, 8$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 8) \cup (8, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{\frac{2}{3}} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Paso 6.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.1

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- 1) = \frac{10 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Paso 6.2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Paso 6.2.2.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.2.3.1

Cancela el factor común.

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Paso 6.2.2.3.2

Reescribe la expresión.

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{2} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Paso 6.2.2.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1) = \frac{10 \cdot 1 - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Paso 6.2.2.5

Multiplica $10$ por $1$ .

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Paso 6.2.2.6

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Paso 6.2.2.7

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}{3}$

Paso 6.2.2.8

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.2.8.1

Cancela el factor común.

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}{3}$

Paso 6.2.2.8.2

Reescribe la expresión.

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 \cdot - 1}{3}$

Paso 6.2.2.9

Evalúa el exponente.

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 \cdot - 1}{3}$

Paso 6.2.2.10

Multiplica $- 20$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{10 + 20}{3}$

Paso 6.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.3.1

Suma $10$ y $20$ .

$f' (- 1) = \frac{30}{3}$

Paso 6.2.3.2

Divide $30$ por $3$ .

$f' (- 1) = 10$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $10$ .

$10$

Paso 6.3

En $x = - 1$ la derivada es $10$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, 0)$ .

Incremento en $(- \infty, 0)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, 8)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f' (4) = \frac{10 {(4)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 {(4)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (4) = \frac{10 {(4)}^{\frac{2}{3}} - 20 {(4)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Paso 7.2.2

Elimina los paréntesis.

$f' (4) = \frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3}$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $\frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3}$

Paso 7.3

En $x = 4$ la derivada es $\frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, 8)$ .

Decrecimiento en $(0, 8)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(8, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $9$ en la expresión.

$f' (9) = \frac{10 {(9)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 {(9)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (9) = \frac{10 {(9)}^{\frac{2}{3}} - 20 {(9)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Paso 8.2.2

Elimina los paréntesis.

$f' (9) = \frac{10 \cdot 9^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{3}$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $\frac{10 \cdot 9^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{10 \cdot 9^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{3}$

Paso 8.3

En $x = 9$ la derivada es $\frac{10 \cdot 9^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{3}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(8, \infty)$ .

Decrecimiento en $(8, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 9

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, 0)$

Decrecimiento en: $(0, 8), (8, \infty)$

Paso 10