Cálculo Ejemplos

$\frac{e^{x}}{3 + e^{x}}$

Paso 1

Escribe $\frac{e^{x}}{3 + e^{x}}$ como una función.

$f (x) = \frac{e^{x}}{3 + e^{x}}$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 3 + e^{x}$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} (3 + e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} (3 + e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2.1.3

Diferencia.

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Paso 2.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 + e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (e^{x}))}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2.1.3.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} (e^{x}))}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2.1.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2.1.5

Multiplica $e^{x}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.5.1

Mueve $e^{x}$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - (e^{x} e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2.1.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x + x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2.1.5.3

Suma $x$ y $x$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2.1.6

Simplifica.

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Paso 2.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{3 e^{x} + e^{x} e^{x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2.1.6.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.6.2.1

Multiplica $e^{x}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.6.2.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{3 e^{x} + e^{x + x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2.1.6.2.1.2

Suma $x$ y $x$ .

$f' (x) = \frac{3 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2.1.6.2.2

Combina los términos opuestos en $3 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}$ .

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Paso 2.1.6.2.2.1

Resta $e^{2 x}$ de $e^{2 x}$ .

$f' (x) = \frac{3 e^{x} + 0}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2.1.6.2.2.2

Suma $3 e^{x}$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ .

$\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}} = 0$

Paso 3.2

Establece el numerador igual a cero.

$3 e^{x} = 0$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 3.3.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (3 e^{x}) = \ln (0)$

Paso 3.3.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 3.3.3

No hay soluciones para $3 e^{x} = 0$

No hay solución

Paso 4

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos

Paso 5

Ningún punto hace que la derivada $f' (x) = \frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ sea igual a $0$ o indefinida. El intervalo para verificar si $f (x) = \frac{e^{x}}{3 + e^{x}}$ está aumentando o disminuyendo es $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Paso 6

Sustituye cualquier número, como $1$ , del intervalo $(- \infty, \infty)$ en la derivada $f' (x) = \frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo. Si el resultado es negativo, la gráfica está disminuyendo en el intervalo $(- \infty, \infty)$ . Si el resultado es positivo, la gráfica está aumentando en el intervalo $(- \infty, \infty)$ .

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = \frac{3 e^{1}}{{(3 + e^{1})}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica.

$f' (1) = \frac{3 e}{{(3 + e)}^{2}}$

Paso 6.2.2

La respuesta final es $\frac{3 e}{{(3 + e)}^{2}}$ .

$\frac{3 e}{{(3 + e)}^{2}}$

Paso 7

El resultado de sustituir $1$ en $f' (x) = \frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ es $\frac{3 e}{{(3 + e)}^{2}}$ , que es positiva, de modo que la gráfica es creciente en el intervalo $(- \infty, \infty)$ .

Incremento en $(- \infty, \infty)$ ya que $\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}} > 0$

Paso 8

Incrementar sobre el intervalo $(- \infty, \infty)$ significa que la función siempre aumenta.

Siempre creciente

Paso 9