Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{2}}{{(x - 7)}^{2}}$

Paso 1

Escribe $\frac{x^{2}}{{(x - 7)}^{2}}$ como una función.

$f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 7)}^{2}}$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = {(x - 7)}^{2}$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 7)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 7)}^{2}}{{({(x - 7)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.1.2.1

Multiplica los exponentes en ${({(x - 7)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 7)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 7)}^{2}}{{(x - 7)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.1.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 7)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 7)}^{2}}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 7)}^{2} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 7)}^{2}}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.2.3

Mueve $2$ a la izquierda de ${(x - 7)}^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ({(x - 7)}^{2} x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 7)}^{2}}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x - 7$ .

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Paso 2.1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 7$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - x^{2} (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 7))}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - x^{2} (2 u \frac{d}{d x} (x - 7))}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 7$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - x^{2} (2 (x - 7) \frac{d}{d x} (x - 7))}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.4

Diferencia.

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Paso 2.1.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 7) \frac{d}{d x} (x - 7))}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 7) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 7)))}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 7) (1 + \frac{d}{d x} (- 7)))}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.4.4

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 7) (1 + 0))}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.4.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.4.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 7) \cdot 1)}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.4.5.2

Multiplica $x - 7$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} (x - 7)}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.5

Simplifica.

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Paso 2.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.5.2.1.1

Reescribe ${(x - 7)}^{2}$ como $(x - 7) (x - 7)$ .

$f' (x) = \frac{2 ((x - 7) (x - 7)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.5.2.1.2

Expande $(x - 7) (x - 7)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.5.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 (x (x - 7) - 7 (x - 7)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.5.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 7 - 7 (x - 7)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.5.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 7 - 7 x - 7 \cdot - 7) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.5.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.5.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.5.2.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + x \cdot - 7 - 7 x - 7 \cdot - 7) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.5.2.1.3.1.2

Mueve $- 7$ a la izquierda de $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 7 \cdot x - 7 x - 7 \cdot - 7) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.5.2.1.3.1.3

Multiplica $- 7$ por $- 7$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 7 x - 7 x + 49) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.5.2.1.3.2

Resta $7 x$ de $- 7 x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 14 x + 49) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.5.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 (- 14 x) + 2 \cdot 49) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.5.2.1.5

Simplifica.

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Paso 2.1.5.2.1.5.1

Multiplica $- 14$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} - 28 x + 2 \cdot 49) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.5.2.1.5.2

Multiplica $2$ por $49$ .

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} - 28 x + 98) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.5.2.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x - 28 x \cdot x + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.5.2.1.7

Simplifica.

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Paso 2.1.5.2.1.7.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.5.2.1.7.1.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) - 28 x \cdot x + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.5.2.1.7.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.1.5.2.1.7.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) - 28 x \cdot x + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.5.2.1.7.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} - 28 x \cdot x + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.5.2.1.7.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x \cdot x + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.5.2.1.7.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.5.2.1.7.2.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 (x \cdot x) + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.5.2.1.7.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.5.2.1.8

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.5.2.1.8.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.5.2.1.8.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.1.5.2.1.8.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.5.2.1.8.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.5.2.1.8.3

Suma $1$ y $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.5.2.1.9

Multiplica $- 7$ por $- 2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 x^{3} + 14 x^{2}}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.5.2.2

Combina los términos opuestos en $2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 x^{3} + 14 x^{2}$ .

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Paso 2.1.5.2.2.1

Resta $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 28 x^{2} + 98 x + 0 + 14 x^{2}}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.5.2.2.2

Suma $- 28 x^{2} + 98 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{- 28 x^{2} + 98 x + 14 x^{2}}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.5.2.3

Suma $- 28 x^{2}$ y $14 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 14 x^{2} + 98 x}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.5.3

Factoriza $14 x$ de $- 14 x^{2} + 98 x$ .

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Paso 2.1.5.3.1

Factoriza $14 x$ de $- 14 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{14 x (- x) + 98 x}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.5.3.2

Factoriza $14 x$ de $98 x$ .

$f' (x) = \frac{14 x (- x) + 14 x (7)}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.5.3.3

Factoriza $14 x$ de $14 x (- x) + 14 x (7)$ .

$f' (x) = \frac{14 x (- x + 7)}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.5.4

Cancela el factor común de $- x + 7$ y ${(x - 7)}^{4}$ .

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Paso 2.1.5.4.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$f' (x) = \frac{14 x (- (x) + 7)}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.5.4.2

Reescribe $7$ como $- 1 (- 7)$ .

$f' (x) = \frac{14 x (- (x) - 1 \cdot - 7)}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.5.4.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 7)$ .

$f' (x) = \frac{14 x (- (x - 7))}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.5.4.4

Reescribe $- (x - 7)$ como $- 1 (x - 7)$ .

$f' (x) = \frac{14 x (- 1 (x - 7))}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.5.4.5

Factoriza $x - 7$ de $14 x (- 1 (x - 7))$ .

$f' (x) = \frac{(x - 7) (14 x \cdot (- 1))}{{(x - 7)}^{4}}$

Paso 2.1.5.4.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.5.4.6.1

Factoriza $x - 7$ de ${(x - 7)}^{4}$ .

$f' (x) = \frac{(x - 7) (14 x \cdot (- 1))}{(x - 7) {(x - 7)}^{3}}$

Paso 2.1.5.4.6.2

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{(x - 7) (14 x \cdot (- 1))}{(x - 7) {(x - 7)}^{3}}$

Paso 2.1.5.4.6.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{14 x \cdot (- 1)}{{(x - 7)}^{3}}$

Paso 2.1.5.5

Multiplica $- 1$ por $14$ .

$f' (x) = \frac{- 14 x}{{(x - 7)}^{3}}$

Paso 2.1.5.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{14 x}{{(x - 7)}^{3}}$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{14 x}{{(x - 7)}^{3}}$ .

$- \frac{14 x}{{(x - 7)}^{3}}$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{14 x}{{(x - 7)}^{3}} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{14 x}{{(x - 7)}^{3}} = 0$

Paso 3.2

Establece el numerador igual a cero.

$14 x = 0$

Paso 3.3

Divide cada término en $14 x = 0$ por $14$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $14 x = 0$ por $14$ .

$\frac{14 x}{14} = \frac{0}{14}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $14$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{14 x}{14} = \frac{0}{14}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{14}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Divide $0$ por $14$ .

$x = 0$

Paso 4

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0$ .

$0$

Paso 5

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 5.1

Establece el denominador en $\frac{14 x}{{(x - 7)}^{3}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x - 7)}^{3} = 0$

Paso 5.2

Resuelve $x$

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Paso 5.2.1

Establece $x - 7$ igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Paso 5.2.2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 7$

Paso 6

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 7) \cup (7, \infty)$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = - \frac{14 (- 1)}{{((- 1) - 7)}^{3}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Multiplica $14$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 14}{{(- 1 - 7)}^{3}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.2.1

Resta $7$ de $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 14}{{(- 8)}^{3}}$

Paso 7.2.2.2

Eleva $- 8$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 14}{- 512}$

Paso 7.2.3

Cancela el factor común de $- 14$ y $- 512$ .

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Paso 7.2.3.1

Factoriza $- 2$ de $- 14$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 \cdot 7}{- 512}$

Paso 7.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.2.1

Factoriza $- 2$ de $- 512$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 \cdot 7}{- 2 \cdot 256}$

Paso 7.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$f' (- 1) = - \frac{- 2 \cdot 7}{- 2 \cdot 256}$

Paso 7.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (- 1) = - \frac{7}{256}$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $- \frac{7}{256}$ .

$- \frac{7}{256}$

Paso 7.3

En $x = - 1$ la derivada es $- \frac{7}{256}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, 0)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 0)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, 7)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{7}{2}$ en la expresión.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{14 (\frac{7}{2})}{{((\frac{7}{2}) - 7)}^{3}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Combina $14$ y $\frac{7}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(\frac{7}{2} - 7)}^{3}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.2.1

Para escribir $- 7$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(\frac{7}{2} - 7 \cdot \frac{2}{2})}^{3}}$

Paso 8.2.2.2

Combina $- 7$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(\frac{7}{2} + \frac{- 7 \cdot 2}{2})}^{3}}$

Paso 8.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(\frac{7 - 7 \cdot 2}{2})}^{3}}$

Paso 8.2.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.2.4.1

Multiplica $- 7$ por $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(\frac{7 - 14}{2})}^{3}}$

Paso 8.2.2.4.2

Resta $14$ de $7$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(\frac{- 7}{2})}^{3}}$

Paso 8.2.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(- \frac{7}{2})}^{3}}$

Paso 8.2.2.6

Aplica la regla del producto a $- \frac{7}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(- 1)}^{3} {(\frac{7}{2})}^{3}}$

Paso 8.2.2.7

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{- {(\frac{7}{2})}^{3}}$

Paso 8.2.2.8

Aplica la regla del producto a $\frac{7}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{- \frac{7^{3}}{2^{3}}}$

Paso 8.2.2.9

Eleva $7$ a la potencia de $3$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{- \frac{343}{2^{3}}}$

Paso 8.2.2.10

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{- \frac{343}{8}}$

Paso 8.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 8.2.3.1

Multiplica $14$ por $7$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{98}{2}}{- \frac{343}{8}}$

Paso 8.2.3.2

Divide $98$ por $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{49}{- \frac{343}{8}}$

Paso 8.2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (\frac{7}{2}) = - (49 (- \frac{8}{343}))$

Paso 8.2.5

Cancela el factor común de $49$ .

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Paso 8.2.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{8}{343}$ al numerador.

$f' (\frac{7}{2}) = - (49 (\frac{- 8}{343}))$

Paso 8.2.5.2

Factoriza $49$ de $343$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - (49 (\frac{- 8}{49 (7)}))$

Paso 8.2.5.3

Cancela el factor común.

$f' (\frac{7}{2}) = - (49 (\frac{- 8}{49 \cdot 7}))$

Paso 8.2.5.4

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 8}{7}$

Paso 8.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{8}{7}$

Paso 8.2.7

La respuesta final es $\frac{8}{7}$ .

$\frac{8}{7}$

Paso 8.3

En $x = \frac{7}{2}$ la derivada es $\frac{8}{7}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(0, 7)$ .

Incremento en $(0, 7)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(7, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $8$ en la expresión.

$f' (8) = - \frac{14 (8)}{{((8) - 7)}^{3}}$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

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Paso 9.2.1

Multiplica $14$ por $8$ .

$f' (8) = - \frac{112}{{(8 - 7)}^{3}}$

Paso 9.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.2.1

Resta $7$ de $8$ .

$f' (8) = - \frac{112}{1^{3}}$

Paso 9.2.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (8) = - \frac{112}{1}$

Paso 9.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 9.2.3.1

Divide $112$ por $1$ .

$f' (8) = - 1 \cdot 112$

Paso 9.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $112$ .

$f' (8) = - 112$

Paso 9.2.4

La respuesta final es $- 112$ .

$- 112$

Paso 9.3

En $x = 8$ la derivada es $- 112$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(7, \infty)$ .

Decrecimiento en $(7, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 10

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(0, 7)$

Decrecimiento en: $(- \infty, 0), (7, \infty)$

Paso 11