Cálculo Ejemplos

$(\frac{2}{3}, - \frac{2 π}{3})$

Paso 1

Usa las fórmulas de conversión para convertir de coordenadas polares a coordenadas rectangulares.

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

Paso 2

Sustituye los valores conocidos de $r = \frac{2}{3}$ y $θ = - \frac{2 π}{3}$ en las fórmulas.

$x = (\frac{2}{3}) \cos (- \frac{2 π}{3})$

$y = (\frac{2}{3}) \sin (- \frac{2 π}{3})$

Paso 3

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$x = \frac{2}{3} \cdot \cos (\frac{4 π}{3})$

$y = (\frac{2}{3}) \sin (- \frac{2 π}{3})$

Paso 4

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el tercer cuadrante.

$x = \frac{2}{3} \cdot (- \cos (\frac{π}{3}))$

$y = (\frac{2}{3}) \sin (- \frac{2 π}{3})$

Paso 5

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{2})$

$y = (\frac{2}{3}) \sin (- \frac{2 π}{3})$

Paso 6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$x = \frac{2}{3} \cdot \frac{- 1}{2}$

$y = (\frac{2}{3}) \sin (- \frac{2 π}{3})$

Paso 6.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2}{3} \cdot \frac{- 1}{2}$

$y = (\frac{2}{3}) \sin (- \frac{2 π}{3})$

Paso 6.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{1}{3} \cdot - 1$

$y = (\frac{2}{3}) \sin (- \frac{2 π}{3})$

$x = \frac{1}{3} \cdot - 1$

$y = (\frac{2}{3}) \sin (- \frac{2 π}{3})$

Paso 7

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

$y = (\frac{2}{3}) \sin (- \frac{2 π}{3})$

Paso 8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{3}$

$y = (\frac{2}{3}) \sin (- \frac{2 π}{3})$

Paso 9

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$x = - \frac{1}{3}$

$y = \frac{2}{3} \cdot \sin (\frac{4 π}{3})$

Paso 10

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el tercer cuadrante.

$x = - \frac{1}{3}$

$y = \frac{2}{3} \cdot (- \sin (\frac{π}{3}))$

Paso 11

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = - \frac{1}{3}$

$y = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 12

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ al numerador.

$x = - \frac{1}{3}$

$y = \frac{2}{3} \cdot \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Paso 12.2

Cancela el factor común.

$x = - \frac{1}{3}$

$y = \frac{2}{3} \cdot \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Paso 12.3

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{1}{3}$

$y = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{3})$

$x = - \frac{1}{3}$

$y = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{3})$

Paso 13

Combina $\frac{1}{3}$ y $\sqrt{3}$ .

$x = - \frac{1}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 14

La representación rectangular del punto polar $(\frac{2}{3}, - \frac{2 π}{3})$ es $(- \frac{1}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

$(- \frac{1}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3})$