Cálculo Ejemplos

$y = 6 x - 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}$ ; $x = 1$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x - 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Paso 2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

Paso 2.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$ .

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Paso 3.1

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$ .

$6 - 12 \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 4 x^{2} - 3$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x^{2} - 3$ .

$6 - 12 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 - 12 (2 u \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x^{2} - 3$ .

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3])$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Paso 3.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Paso 3.6

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (4 (2 x) + 0))$

Paso 3.7

Multiplica $2$ por $4$ .

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (8 x + 0))$

Paso 3.8

Suma $8 x$ y $0$ .

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (8 x))$

Paso 3.9

Multiplica $8$ por $2$ .

$6 - 12 (16 (4 x^{2} - 3) x)$

Paso 3.10

Multiplica $16$ por $- 12$ .

$6 - 192 (4 x^{2} - 3) x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 + (- 192 (4 x^{2}) - 192 \cdot - 3) x$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$6 - 192 (4 x^{2}) x - 192 \cdot - 3 x$

Paso 4.3

Combina los términos.

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Paso 4.3.1

Multiplica $4$ por $- 192$ .

$6 - 768 x^{2} x - 192 \cdot - 3 x$

Paso 4.3.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$6 - 768 (x^{1} x^{2}) - 192 \cdot - 3 x$

Paso 4.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$6 - 768 x^{1 + 2} - 192 \cdot - 3 x$

Paso 4.3.4

Suma $1$ y $2$ .

$6 - 768 x^{3} - 192 \cdot - 3 x$

Paso 4.3.5

Multiplica $- 192$ por $- 3$ .

$6 - 768 x^{3} + 576 x$

Paso 4.4

Reordena los términos.

$- 768 x^{3} + 576 x + 6$

Paso 5

Evalúa la derivada en $x = 1$ .

$- 768 {(1)}^{3} + 576 (1) + 6$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 768 \cdot 1 + 576 (1) + 6$

Paso 6.1.2

Multiplica $- 768$ por $1$ .

$- 768 + 576 (1) + 6$

Paso 6.1.3

Multiplica $576$ por $1$ .

$- 768 + 576 + 6$

Paso 6.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 6.2.1

Suma $- 768$ y $576$ .

$- 192 + 6$

Paso 6.2.2

Suma $- 192$ y $6$ .

$- 186$