Cálculo Ejemplos

$f'' (x) = x^{6} - 4 x^{4} + x + 1$

Paso 1

La función $f' (x)$ puede obtenerse mediante la evaluación de la integral indefinida de la derivada $f'' (x)$ .

$f' (x) = \int f'' (x) d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x^{6} d x + \int - 4 x^{4} d x + \int x d x + \int d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{6}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + \int - 4 x^{4} d x + \int x d x + \int d x$

Paso 4

Dado que $- 4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 4$ fuera de la integral.

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 4 \int x^{4} d x + \int x d x + \int d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int x d x + \int d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x$

Paso 7

Combina $\frac{1}{5}$ y $x^{5}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 4 (\frac{x^{5}}{5} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 4 (\frac{x^{5}}{5} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C$

Paso 9

Simplifica.

$\frac{x^{7}}{7} - \frac{4 x^{5}}{5} + \frac{x^{2}}{2} + x + C$

Paso 10

Reordena los términos.

$\frac{1}{7} x^{7} - \frac{4}{5} x^{5} + \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

Paso 11

La función $f'$ si deriva de la integral de la derivada de la función. Esto es válido por el teorema fundamental del cálculo.

$f' (x) = \frac{1}{7} x^{7} - \frac{4}{5} x^{5} + \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

Paso 12

La función $f (x)$ puede obtenerse mediante la evaluación de la integral indefinida de la derivada $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

Paso 13

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{7} x^{7} d x + \int - \frac{4}{5} x^{5} d x + \int \frac{1}{2} x^{2} d x + \int x d x + \int C d x$

Paso 14

Dado que $\frac{1}{7}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{7}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{7} \int x^{7} d x + \int - \frac{4}{5} x^{5} d x + \int \frac{1}{2} x^{2} d x + \int x d x + \int C d x$

Paso 15

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{7}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{8} x^{8}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{1}{8} x^{8} + C) + \int - \frac{4}{5} x^{5} d x + \int \frac{1}{2} x^{2} d x + \int x d x + \int C d x$

Paso 16

Dado que $- \frac{4}{5}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- \frac{4}{5}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{7} (\frac{1}{8} x^{8} + C) - \frac{4}{5} \int x^{5} d x + \int \frac{1}{2} x^{2} d x + \int x d x + \int C d x$

Paso 17

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{1}{8} x^{8} + C) - \frac{4}{5} (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \int \frac{1}{2} x^{2} d x + \int x d x + \int C d x$

Paso 18

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{7} (\frac{1}{8} x^{8} + C) - \frac{4}{5} (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \frac{1}{2} \int x^{2} d x + \int x d x + \int C d x$

Paso 19

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{1}{8} x^{8} + C) - \frac{4}{5} (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int x d x + \int C d x$

Paso 20

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{1}{8} x^{8} + C) - \frac{4}{5} (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int C d x$

Paso 21

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{7} (\frac{1}{8} x^{8} + C) - \frac{4}{5} (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + C x + C$

Paso 22

Simplifica.

$\frac{x^{8}}{56} - \frac{2 x^{6}}{15} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + C x + C$

Paso 23

Reordena los términos.

$\frac{1}{56} x^{8} - \frac{2}{15} x^{6} + \frac{1}{6} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C x + C$

Paso 24

La función $f$ si deriva de la integral de la derivada de la función. Esto es válido por el teorema fundamental del cálculo.

$f (x) = \frac{1}{56} x^{8} - \frac{2}{15} x^{6} + \frac{1}{6} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C x + C$