Cálculo Ejemplos

$f'' (x) = - 2 + 30 x - 12 x^{2}$

Paso 1

La función $f' (x)$ puede obtenerse mediante la evaluación de la integral indefinida de la derivada $f'' (x)$ .

$f' (x) = \int f'' (x) d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - 2 d x + \int 30 x d x + \int - 12 x^{2} d x$

Paso 3

Aplica la regla de la constante.

$- 2 x + C + \int 30 x d x + \int - 12 x^{2} d x$

Paso 4

Dado que $30$ es constante con respecto a $x$ , mueve $30$ fuera de la integral.

$- 2 x + C + 30 \int x d x + \int - 12 x^{2} d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 x + C + 30 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 12 x^{2} d x$

Paso 6

Dado que $- 12$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 12$ fuera de la integral.

$- 2 x + C + 30 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 12 \int x^{2} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 x + C + 30 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Simplifica.

$- 2 x + 15 x^{2} - 12 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$- 2 x + 15 x^{2} - 12 \frac{x^{3}}{3} + C$

Paso 8.2.2

Combina $- 12$ y $\frac{x^{3}}{3}$ .

$- 2 x + 15 x^{2} + \frac{- 12 x^{3}}{3} + C$

Paso 8.2.3

Cancela el factor común de $- 12$ y $3$ .

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Paso 8.2.3.1

Factoriza $3$ de $- 12 x^{3}$ .

$- 2 x + 15 x^{2} + \frac{3 (- 4 x^{3})}{3} + C$

Paso 8.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.3.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$- 2 x + 15 x^{2} + \frac{3 (- 4 x^{3})}{3 (1)} + C$

Paso 8.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$- 2 x + 15 x^{2} + \frac{3 (- 4 x^{3})}{3 \cdot 1} + C$

Paso 8.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- 2 x + 15 x^{2} + \frac{- 4 x^{3}}{1} + C$

Paso 8.2.3.2.4

Divide $- 4 x^{3}$ por $1$ .

$- 2 x + 15 x^{2} - 4 x^{3} + C$

Paso 9

La función $f'$ si deriva de la integral de la derivada de la función. Esto es válido por el teorema fundamental del cálculo.

$f' (x) = - 2 x + 15 x^{2} - 4 x^{3} + C$

Paso 10

La función $f (x)$ puede obtenerse mediante la evaluación de la integral indefinida de la derivada $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

Paso 11

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - 2 x d x + \int 15 x^{2} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int C d x$

Paso 12

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$- 2 \int x d x + \int 15 x^{2} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int C d x$

Paso 13

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 15 x^{2} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int C d x$

Paso 14

Dado que $15$ es constante con respecto a $x$ , mueve $15$ fuera de la integral.

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 15 \int x^{2} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int C d x$

Paso 15

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 4 x^{3} d x + \int C d x$

Paso 16

Dado que $- 4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 4$ fuera de la integral.

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 \int x^{3} d x + \int C d x$

Paso 17

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int C d x$

Paso 18

Aplica la regla de la constante.

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + C x + C$

Paso 19

Simplifica.

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Paso 19.1

Simplifica.

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Paso 19.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + C x + C$

Paso 19.1.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 15 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + C x + C$

Paso 19.1.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 15 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) + C x + C$

Paso 19.2

Simplifica.

$- x^{2} + 5 x^{3} - x^{4} + C x + C$

Paso 20

La función $f$ si deriva de la integral de la derivada de la función. Esto es válido por el teorema fundamental del cálculo.

$f (x) = - x^{2} + 5 x^{3} - x^{4} + C x + C$