Cálculo Ejemplos

$f'' (x) = 32 x^{3} - 15 x^{2} + 8 x$

Paso 1

La función $f' (x)$ puede obtenerse mediante la evaluación de la integral indefinida de la derivada $f'' (x)$ .

$f' (x) = \int f'' (x) d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 32 x^{3} d x + \int - 15 x^{2} d x + \int 8 x d x$

Paso 3

Dado que $32$ es constante con respecto a $x$ , mueve $32$ fuera de la integral.

$32 \int x^{3} d x + \int - 15 x^{2} d x + \int 8 x d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$32 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 15 x^{2} d x + \int 8 x d x$

Paso 5

Dado que $- 15$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 15$ fuera de la integral.

$32 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 15 \int x^{2} d x + \int 8 x d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$32 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 8 x d x$

Paso 7

Dado que $8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$32 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 8 \int x d x$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$32 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Simplifica.

$8 x^{4} - 5 x^{3} + 8 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$8 x^{4} - 5 x^{3} + 8 \frac{x^{2}}{2} + C$

Paso 9.2.2

Combina $8$ y $\frac{x^{2}}{2}$ .

$8 x^{4} - 5 x^{3} + \frac{8 x^{2}}{2} + C$

Paso 9.2.3

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 9.2.3.1

Factoriza $2$ de $8 x^{2}$ .

$8 x^{4} - 5 x^{3} + \frac{2 (4 x^{2})}{2} + C$

Paso 9.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$8 x^{4} - 5 x^{3} + \frac{2 (4 x^{2})}{2 (1)} + C$

Paso 9.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$8 x^{4} - 5 x^{3} + \frac{2 (4 x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Paso 9.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$8 x^{4} - 5 x^{3} + \frac{4 x^{2}}{1} + C$

Paso 9.2.3.2.4

Divide $4 x^{2}$ por $1$ .

$8 x^{4} - 5 x^{3} + 4 x^{2} + C$

Paso 10

La función $f'$ si deriva de la integral de la derivada de la función. Esto es válido por el teorema fundamental del cálculo.

$f' (x) = 8 x^{4} - 5 x^{3} + 4 x^{2} + C$

Paso 11

La función $f (x)$ puede obtenerse mediante la evaluación de la integral indefinida de la derivada $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

Paso 12

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 8 x^{4} d x + \int - 5 x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

Paso 13

Dado que $8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$8 \int x^{4} d x + \int - 5 x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

Paso 14

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$8 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int - 5 x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

Paso 15

Dado que $- 5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 5$ fuera de la integral.

$8 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 5 \int x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

Paso 16

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$8 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

Paso 17

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$8 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 \int x^{2} d x + \int C d x$

Paso 18

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$8 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int C d x$

Paso 19

Aplica la regla de la constante.

$8 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + C x + C$

Paso 20

Simplifica.

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Paso 20.1

Simplifica.

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Paso 20.1.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $x^{5}$ .

$8 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + C x + C$

Paso 20.1.2

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$8 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + C x + C$

Paso 20.1.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$8 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 (\frac{x^{3}}{3} + C) + C x + C$

Paso 20.2

Simplifica.

$\frac{8 x^{5}}{5} - \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{4 x^{3}}{3} + C x + C$

Paso 21

Reordena los términos.

$\frac{8}{5} x^{5} - \frac{5}{4} x^{4} + \frac{4}{3} x^{3} + C x + C$

Paso 22

La función $f$ si deriva de la integral de la derivada de la función. Esto es válido por el teorema fundamental del cálculo.

$f (x) = \frac{8}{5} x^{5} - \frac{5}{4} x^{4} + \frac{4}{3} x^{3} + C x + C$