Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{e}$ ; $[1, e^{3}]$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$\frac{1}{x} - \frac{1}{e} = 0$

Paso 1.2

Resuelve $\frac{1}{x} - \frac{1}{e} = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Suma $\frac{1}{e}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{e}$

Paso 1.2.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 1.2.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x, e + y = 0$

Paso 1.2.2.2

Como $x, e$ contiene tanto números como variables, hay dos pasos para obtener el MCM. Obtén el MCM para la parte numérica $1, 1$ y, luego, obtén el MCM para la parte variable $x^{1}$ .

Paso 1.2.2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

$1$ Enumera los factores primos de cada número.

Paso 1.2.2.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 1.2.2.5

El MCM de $1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1 + y = 0$

Paso 1.2.2.6

El factor para $x^{1}$ es $x$ en sí mismo.

$x = x$

Paso 1.2.2.7

El MCM de $x^{1}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$x + y = 0$

Paso 1.2.3

Multiplica cada término en $\frac{1}{x} = \frac{1}{e}$ por $x$ para eliminar las fracciones.

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Paso 1.2.3.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{x} = \frac{1}{e}$ por $x$ .

$\frac{1}{x} x = \frac{1}{e} x$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x} x = \frac{1}{e} x$

Paso 1.2.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{1}{e} x$

Paso 1.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.3.1

Combina $\frac{1}{e}$ y $x$ .

$1 = \frac{x}{e}$

Paso 1.2.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.2.4.1

Reescribe la ecuación como $\frac{x}{e} = 1$ .

$\frac{x}{e} = 1$

Paso 1.2.4.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $e$ .

$e \frac{x}{e} = e \cdot 1$

Paso 1.2.4.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 1.2.4.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.4.3.1.1

Cancela el factor común de $e$ .

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Paso 1.2.4.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$e \frac{x}{e} = e \cdot 1$

Paso 1.2.4.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = e \cdot 1$

Paso 1.2.4.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.3.2.1

Multiplica $e$ por $1$ .

$x = e$

Paso 1.3

Sustituye $e$ por $x$ .

$y = 0$

Paso 1.4

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(e, 0)$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{1}^{e} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} d x - \int_{1}^{e} 0 d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $1$ y $e$ .

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Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} - (0) d x$

Paso 3.2

Resta $0$ de $\frac{1}{x} - \frac{1}{e}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} d x$

Paso 3.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{e} - \frac{1}{e} d x$

Paso 3.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} - \frac{1}{e} d x$

Paso 3.5

Aplica la regla de la constante.

$\ln (| x |)]_{1}^{e} + - \frac{1}{e} x]_{1}^{e}$

Paso 3.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.6.1

Combina $\ln (| x |)]_{1}^{e}$ y $- \frac{1}{e} x]_{1}^{e}$ .

$\ln (| x |) - \frac{1}{e} x]_{1}^{e}$

Paso 3.6.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.6.2.1

Evalúa $\ln (| x |) - \frac{1}{e} x$ en $e$ y en $1$ .

$(\ln (| e |) - \frac{1}{e} e) - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

Paso 3.6.2.2

Simplifica.

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Paso 3.6.2.2.1

Combina $e$ y $\frac{1}{e}$ .

$\ln (| e |) - \frac{e}{e} - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

Paso 3.6.2.2.2

Cancela el factor común de $e$ .

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Paso 3.6.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\ln (| e |) - \frac{e}{e} - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

Paso 3.6.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| e |) - 1 \cdot 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

Paso 3.6.2.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\ln (| e |) - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

Paso 3.6.2.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\ln (| e |) - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e})$

Paso 3.7

Simplifica.

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Paso 3.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.7.1.1

$e$ es aproximadamente $2.71828182$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\ln (e) - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e})$

Paso 3.7.1.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$1 - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e})$

Paso 3.7.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.7.1.3.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$1 - 1 - (\ln (1) - \frac{1}{e})$

Paso 3.7.1.3.2

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$1 - 1 - (0 - \frac{1}{e})$

Paso 3.7.1.4

Resta $\frac{1}{e}$ de $0$ .

$1 - 1 - - \frac{1}{e}$

Paso 3.7.1.5

Multiplica $- - \frac{1}{e}$ .

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Paso 3.7.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 - 1 + 1 \frac{1}{e}$

Paso 3.7.1.5.2

Multiplica $\frac{1}{e}$ por $1$ .

$1 - 1 + \frac{1}{e}$

Paso 3.7.2

Resta $1$ de $1$ .

$0 + \frac{1}{e}$

Paso 3.7.3

Suma $0$ y $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e}$

Paso 4

$A r e a = \int_{e}^{e^{3}} 0 d x - \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} d x$

Paso 5

Integra para obtener el área entre $e$ y $e^{3}$ .

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Paso 5.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{e}^{e^{3}} 0 - (\frac{1}{x} - \frac{1}{e}) d x$

Paso 5.2

Resta $\frac{1}{x} - \frac{1}{e}$ de $0$ .

$\int_{e}^{e^{3}} - (\frac{1}{x} - \frac{1}{e}) d x$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{e}^{e^{3}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{e} d x$

Paso 5.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{e}^{e^{3}} - \frac{1}{x} d x + \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{e} d x$

Paso 5.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{x} d x + \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{e} d x$

Paso 5.6

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$- (\ln (| x |)]_{e}^{e^{3}}) + \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{e} d x$

Paso 5.7

Aplica la regla de la constante.

$- (\ln (| x |)]_{e}^{e^{3}}) + \frac{1}{e} x]_{e}^{e^{3}}$

Paso 5.8

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.8.1

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.8.1.1

Evalúa $\ln (| x |)$ en $e^{3}$ y en $e$ .

$- ((\ln (| e^{3} |)) - \ln (| e |)) + \frac{1}{e} x]_{e}^{e^{3}}$

Paso 5.8.1.2

Evalúa $\frac{1}{e} x$ en $e^{3}$ y en $e$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{1}{e} e^{3} - \frac{1}{e} e$

Paso 5.8.1.3

Simplifica.

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Paso 5.8.1.3.1

Combina $\frac{1}{e}$ y $e^{3}$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e^{3}}{e} - \frac{1}{e} e$

Paso 5.8.1.3.2

Cancela el factor común de $e^{3}$ y $e$ .

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Paso 5.8.1.3.2.1

Factoriza $e$ de $e^{3}$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e e^{2}}{e} - \frac{1}{e} e$

Paso 5.8.1.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.8.1.3.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e e^{2}}{e \cdot 1} - \frac{1}{e} e$

Paso 5.8.1.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e e^{2}}{e \cdot 1} - \frac{1}{e} e$

Paso 5.8.1.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e^{2}}{1} - \frac{1}{e} e$

Paso 5.8.1.3.2.2.4

Divide $e^{2}$ por $1$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - \frac{1}{e} e$

Paso 5.8.1.3.3

Combina $e$ y $\frac{1}{e}$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - \frac{e}{e}$

Paso 5.8.1.3.4

Cancela el factor común de $e$ .

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Paso 5.8.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - \frac{e}{e}$

Paso 5.8.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - 1 \cdot 1$

Paso 5.8.1.3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - 1$

Paso 5.8.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| e^{3} |}{| e |}) + e^{2} - 1$

Paso 5.8.3

Simplifica.

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Paso 5.8.3.1

$e^{3}$ es aproximadamente $20.08553692$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$- \ln (\frac{e^{3}}{| e |}) + e^{2} - 1$

Paso 5.8.3.2

$e$ es aproximadamente $2.71828182$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$- \ln (\frac{e^{3}}{e}) + e^{2} - 1$

Paso 5.8.3.3

Cancela el factor común de $e^{3}$ y $e$ .

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Paso 5.8.3.3.1

Factoriza $e$ de $e^{3}$ .

$- \ln (\frac{e e^{2}}{e}) + e^{2} - 1$

Paso 5.8.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.8.3.3.2.1

Multiplica por $1$ .

$- \ln (\frac{e e^{2}}{e \cdot 1}) + e^{2} - 1$

Paso 5.8.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$- \ln (\frac{e e^{2}}{e \cdot 1}) + e^{2} - 1$

Paso 5.8.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- \ln (\frac{e^{2}}{1}) + e^{2} - 1$

Paso 5.8.3.3.2.4

Divide $e^{2}$ por $1$ .

$- \ln (e^{2}) + e^{2} - 1$

Paso 5.8.3.4

Usa las reglas de logaritmos para mover $2$ fuera del exponente.

$- (2 \ln (e)) + e^{2} - 1$

Paso 5.8.3.5

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$- (2 \cdot 1) + e^{2} - 1$

Paso 5.8.3.6

Multiplica $2$ por $1$ .

$- 1 \cdot 2 + e^{2} - 1$

Paso 5.8.3.7

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 + e^{2} - 1$

Paso 5.8.3.8

Resta $1$ de $- 2$ .

$e^{2} - 3$

Paso 6