Cálculo Ejemplos

$\sum_{1}^{3} \frac{1}{2} j (2 j^{2} + 3 j + 5)$

Paso 1

Simplifica la suma.

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Paso 1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \cdot (j (2 j^{2}) + j (3 j) + j \cdot 5)$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{2} \cdot (2 j \cdot j^{2} + j (3 j) + j \cdot 5)$

Paso 1.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{2} \cdot (2 j \cdot j^{2} + 3 j \cdot j + j \cdot 5)$

Paso 1.2.3

Mueve $5$ a la izquierda de $j$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 j \cdot j^{2} + 3 j \cdot j + 5 \cdot j)$

Paso 1.3

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1

Multiplica $j$ por $j^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1.1

Mueve $j^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 (j^{2} j) + 3 j \cdot j + 5 \cdot j)$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $j^{2}$ por $j$ .

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Paso 1.3.1.2.1

Eleva $j$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 (j^{2} j^{1}) + 3 j \cdot j + 5 \cdot j)$

Paso 1.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} \cdot (2 j^{2 + 1} + 3 j \cdot j + 5 \cdot j)$

Paso 1.3.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 j^{3} + 3 j \cdot j + 5 \cdot j)$

Paso 1.3.2

Multiplica $j$ por $j$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.2.1

Mueve $j$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 j^{3} + 3 (j \cdot j) + 5 \cdot j)$

Paso 1.3.2.2

Multiplica $j$ por $j$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 j^{3} + 3 j^{2} + 5 \cdot j)$

$\frac{1}{2} \cdot (2 j^{3} + 3 j^{2} + 5 j)$

Paso 1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} (2 j^{3}) + \frac{1}{2} (3 j^{2}) + \frac{1}{2} (5 j)$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.1.1

Factoriza $2$ de $2 j^{3}$ .

$\frac{1}{2} (2 (j^{3})) + \frac{1}{2} (3 j^{2}) + \frac{1}{2} (5 j)$

Paso 1.5.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (2 j^{3}) + \frac{1}{2} (3 j^{2}) + \frac{1}{2} (5 j)$

Paso 1.5.1.3

Reescribe la expresión.

$j^{3} + \frac{1}{2} (3 j^{2}) + \frac{1}{2} (5 j)$

Paso 1.5.2

Multiplica $\frac{1}{2} (3 j^{2})$ .

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Paso 1.5.2.1

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$j^{3} + \frac{3}{2} j^{2} + \frac{1}{2} (5 j)$

Paso 1.5.2.2

Combina $\frac{3}{2}$ y $j^{2}$ .

$j^{3} + \frac{3 j^{2}}{2} + \frac{1}{2} (5 j)$

Paso 1.5.3

Multiplica $\frac{1}{2} (5 j)$ .

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Paso 1.5.3.1

Combina $5$ y $\frac{1}{2}$ .

$j^{3} + \frac{3 j^{2}}{2} + \frac{5}{2} j$

Paso 1.5.3.2

Combina $\frac{5}{2}$ y $j$ .

$j^{3} + \frac{3 j^{2}}{2} + \frac{5 j}{2}$

Paso 1.6

Reescribe la suma.

$\sum_{j = 1}^{3} j^{3} + \frac{3 j^{2}}{2} + \frac{5 j}{2}$

Paso 2

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $3$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Paso 3

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(\frac{1}{2} + 5) (\frac{3^{2} {(3 + 1)}^{2}}{4})$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Suma $3$ y $1$ .

$(\frac{1}{2} + 5) \frac{3^{2} \cdot 4^{2}}{4}$

Paso 4.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$(\frac{1}{2} + 5) \frac{9 \cdot 4^{2}}{4}$

Paso 4.1.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$(\frac{1}{2} + 5) \frac{9 \cdot 16}{4}$

Paso 4.2

Multiplica $9$ por $16$ .

$(\frac{1}{2} + 5) \frac{144}{4}$

Paso 4.3

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$(\frac{1}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}) \frac{144}{4}$

Paso 4.4

Combina $5$ y $\frac{2}{2}$ .

$(\frac{1}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}) \frac{144}{4}$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 + 5 \cdot 2}{2} \cdot \frac{144}{4}$

Paso 4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.1

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{1 + 10}{2} \cdot \frac{144}{4}$

Paso 4.6.2

Suma $1$ y $10$ .

$\frac{11}{2} \cdot \frac{144}{4}$

Paso 4.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.7.1

Factoriza $2$ de $144$ .

$\frac{11}{2} \cdot \frac{2 (72)}{4}$

Paso 4.7.2

Cancela el factor común.

$\frac{11}{2} \cdot \frac{2 \cdot 72}{4}$

Paso 4.7.3

Reescribe la expresión.

$11 (\frac{72}{4})$

Paso 4.8

Combina $11$ y $\frac{72}{4}$ .

$\frac{11 \cdot 72}{4}$

Paso 4.9

Simplifica la expresión.

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Paso 4.9.1

Multiplica $11$ por $72$ .

$\frac{792}{4}$

Paso 4.9.2

Divide $792$ por $4$ .

$198$