Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 e^{x} - 3$ ; $[- 4, 3]$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$4 e^{x} - 3 = 0$

Paso 1.2

Resuelve $4 e^{x} - 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$4 e^{x} = 3$

Paso 1.2.2

Divide cada término en $4 e^{x} = 3$ por $4$ y simplifica.

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Paso 1.2.2.1

Divide cada término en $4 e^{x} = 3$ por $4$ .

$\frac{4 e^{x}}{4} = \frac{3}{4}$

Paso 1.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 e^{x}}{4} = \frac{3}{4}$

Paso 1.2.2.2.1.2

Divide $e^{x}$ por $1$ .

$e^{x} = \frac{3}{4}$

Paso 1.2.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{3}{4})$

Paso 1.2.4

Expande el lado izquierdo.

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Paso 1.2.4.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{3}{4})$

Paso 1.2.4.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{3}{4})$

Paso 1.2.4.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (\frac{3}{4})$

Paso 1.3

Sustituye $\ln (\frac{3}{4})$ por $x$ .

$y = 0$

Paso 1.4

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(\ln (\frac{3}{4}), 0)$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 0 d x - \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 4 e^{x} - 3 d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $- 4$ y $\ln (\frac{3}{4})$ .

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Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 0 - (4 e^{x} - 3) d x$

Paso 3.2

Resta $4 e^{x} - 3$ de $0$ .

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} - (4 e^{x} - 3) d x$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} - (4 e^{x}) + 3 d x$

Paso 3.4

Multiplica.

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Paso 3.4.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 4 e^{x} - - 3$

Paso 3.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$- 4 e^{x} + 3$

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} - 4 e^{x} + 3 d x$

Paso 3.5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} - 4 e^{x} d x + \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 3 d x$

Paso 3.6

Dado que $- 4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 4$ fuera de la integral.

$- 4 \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} e^{x} d x + \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 3 d x$

Paso 3.7

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$- 4 (e^{x}]_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})}) + \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 3 d x$

Paso 3.8

Aplica la regla de la constante.

$- 4 (e^{x}]_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})}) + 3 x]_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})}$

Paso 3.9

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.9.1

Evalúa $e^{x}$ en $\ln (\frac{3}{4})$ y en $- 4$ .

$- 4 ((e^{\ln (\frac{3}{4})}) - e^{- 4}) + 3 x]_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})}$

Paso 3.9.2

Evalúa $3 x$ en $\ln (\frac{3}{4})$ y en $- 4$ .

$- 4 (e^{\ln (\frac{3}{4})} - e^{- 4}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) - 3 \cdot - 4$

Paso 3.9.3

Simplifica.

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Paso 3.9.3.1

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$- 4 (\frac{3}{4} - e^{- 4}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) - 3 \cdot - 4$

Paso 3.9.3.2

Multiplica $- 3$ por $- 4$ .

$- 4 (\frac{3}{4} - e^{- 4}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Paso 3.10

Simplifica.

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Paso 3.10.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.10.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 (\frac{3}{4} - \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Paso 3.10.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 4 (\frac{3}{4}) - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Paso 3.10.1.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.10.1.3.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{3}{4} - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Paso 3.10.1.3.2

Cancela el factor común.

$4 \cdot - 1 \frac{3}{4} - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Paso 3.10.1.3.3

Reescribe la expresión.

$- 1 \cdot 3 - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Paso 3.10.1.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Paso 3.10.1.5

Multiplica $- 4 (- \frac{1}{e^{4}})$ .

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Paso 3.10.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$- 3 + 4 \frac{1}{e^{4}} + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Paso 3.10.1.5.2

Combina $4$ y $\frac{1}{e^{4}}$ .

$- 3 + \frac{4}{e^{4}} + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Paso 3.10.2

Suma $- 3$ y $12$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 9$

Paso 4

$A r e a = \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 4 e^{x} - 3 d x - \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 0 d x$

Paso 5

Integra para obtener el área entre $\ln (\frac{3}{4})$ y $3$ .

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Paso 5.1

Integra para obtener el área entre $\ln (\frac{3}{4})$ y $3$ .

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Paso 5.1.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 0 - (4 e^{x} - 3) d x$

Paso 5.1.2

Resta $4 e^{x} - 3$ de $0$ .

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - (4 e^{x} - 3) d x$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - (4 e^{x}) + 3 d x$

Paso 5.1.4

Multiplica.

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Paso 5.1.4.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 4 e^{x} - - 3$

Paso 5.1.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$- 4 e^{x} + 3$

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 4 e^{x} + 3 d x$

Paso 5.1.5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 4 e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 3 d x$

Paso 5.1.6

Dado que $- 4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 4$ fuera de la integral.

$- 4 \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 3 d x$

Paso 5.1.7

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$- 4 (e^{x}]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}) + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 3 d x$

Paso 5.1.8

Aplica la regla de la constante.

$- 4 (e^{x}]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}) + 3 x]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}$

Paso 5.1.9

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.1.9.1

Evalúa $e^{x}$ en $3$ y en $\ln (\frac{3}{4})$ .

$- 4 ((e^{3}) - e^{\ln (\frac{3}{4})}) + 3 x]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}$

Paso 5.1.9.2

Evalúa $3 x$ en $3$ y en $\ln (\frac{3}{4})$ .

$- 4 (e^{3} - e^{\ln (\frac{3}{4})}) + 3 \cdot 3 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Paso 5.1.9.3

Simplifica.

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Paso 5.1.9.3.1

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$- 4 (e^{3} - \frac{3}{4}) + 3 \cdot 3 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Paso 5.1.9.3.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$- 4 (e^{3} - \frac{3}{4}) + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Paso 5.1.10

Simplifica.

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Paso 5.1.10.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.10.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 4 e^{3} - 4 (- \frac{3}{4}) + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Paso 5.1.10.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.1.10.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{4}$ al numerador.

$- 4 e^{3} - 4 (\frac{- 3}{4}) + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Paso 5.1.10.1.2.2

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$- 4 e^{3} + 4 (- 1) \frac{- 3}{4} + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Paso 5.1.10.1.2.3

Cancela el factor común.

$- 4 e^{3} + 4 \cdot - 1 \frac{- 3}{4} + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Paso 5.1.10.1.2.4

Reescribe la expresión.

$- 4 e^{3} - - 3 + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Paso 5.1.10.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$- 4 e^{3} + 3 + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Paso 5.1.10.2

Suma $3$ y $9$ .

$- 4 e^{3} + 12 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Paso 5.2

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 4 e^{x} - 3 - (0) d x$

Paso 5.3

Resta $0$ de $4 e^{x} - 3$ .

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 4 e^{x} - 3 d x$

Paso 5.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 4 e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 3 d x$

Paso 5.5

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 3 d x$

Paso 5.6

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$4 (e^{x}]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}) + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 3 d x$

Paso 5.7

Aplica la regla de la constante.

$4 (e^{x}]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}) + - 3 x]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}$

Paso 5.8

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.8.1

Evalúa $e^{x}$ en $3$ y en $\ln (\frac{3}{4})$ .

$4 ((e^{3}) - e^{\ln (\frac{3}{4})}) + - 3 x]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}$

Paso 5.8.2

Evalúa $- 3 x$ en $3$ y en $\ln (\frac{3}{4})$ .

$4 (e^{3} - e^{\ln (\frac{3}{4})}) + - 3 \cdot 3 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Paso 5.8.3

Simplifica.

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Paso 5.8.3.1

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$4 (e^{3} - \frac{3}{4}) - 3 \cdot 3 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Paso 5.8.3.2

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$4 (e^{3} - \frac{3}{4}) - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Paso 5.9

Simplifica.

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Paso 5.9.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.9.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 e^{3} + 4 (- \frac{3}{4}) - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Paso 5.9.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.9.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{4}$ al numerador.

$4 e^{3} + 4 (\frac{- 3}{4}) - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Paso 5.9.1.2.2

Cancela el factor común.

$4 e^{3} + 4 (\frac{- 3}{4}) - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Paso 5.9.1.2.3

Reescribe la expresión.

$4 e^{3} - 3 - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Paso 5.9.2

Resta $9$ de $- 3$ .

$4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Paso 6

Suma las áreas $\frac{4}{e^{4}} + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$ .

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Simplifica $3 \ln (\frac{3}{4})$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\frac{4}{e^{4}} + \ln ({(\frac{3}{4})}^{3}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Paso 6.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{4}$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{3^{3}}{4^{3}}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Paso 6.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{4^{3}}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Paso 6.1.4

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Paso 6.1.5

Simplifica $3 \ln (\frac{3}{4})$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln ({(\frac{3}{4})}^{3})$

Paso 6.1.6

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{4}$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{3^{3}}{4^{3}})$

Paso 6.1.7

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{27}{4^{3}})$

Paso 6.1.8

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{27}{64})$

Paso 6.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{27}{64} \cdot \frac{27}{64})$

Paso 6.3

Multiplica $\frac{27}{64} \cdot \frac{27}{64}$ .

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Paso 6.3.1

Multiplica $\frac{27}{64}$ por $\frac{27}{64}$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{27 \cdot 27}{64 \cdot 64})$

Paso 6.3.2

Multiplica $27$ por $27$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{729}{64 \cdot 64})$

Paso 6.3.3

Multiplica $64$ por $64$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{729}{4096})$

Paso 6.4

Resta $12$ de $9$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 4 e^{3} - 3 + \ln (\frac{729}{4096})$

Paso 7