Cálculo Ejemplos

$x = 4 t - 1$ , $y = 2 t^{2} + 3 t - 4$

Paso 1

Establece la ecuación paramétrica de $x (t)$ para resolver la ecuación de $t$ .

$x = 4 t - 1$

Paso 2

Reescribe la ecuación como $4 t - 1 = x$ .

$4 t - 1 = x$

Paso 3

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$4 t = x + 1$

Paso 4

Divide cada término en $4 t = x + 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término en $4 t = x + 1$ por $4$ .

$\frac{4 t}{4} = \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 t}{4} = \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

Paso 4.2.1.2

Divide $t$ por $1$ .

$t = \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

Paso 5

Reemplaza $t$ en la ecuación con $y$ para obtener la ecuación en términos de $x$ .

$y = 2 {(\frac{x}{4} + \frac{1}{4})}^{2} + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Paso 6

Simplifica $2 {(\frac{x}{4} + \frac{1}{4})}^{2} + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$ .

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Reescribe ${(\frac{x}{4} + \frac{1}{4})}^{2}$ como $(\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) (\frac{x}{4} + \frac{1}{4})$ .

$y = 2 ((\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) (\frac{x}{4} + \frac{1}{4})) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Paso 6.1.2

Expande $(\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) (\frac{x}{4} + \frac{1}{4})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 2 (\frac{x}{4} (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) + \frac{1}{4} (\frac{x}{4} + \frac{1}{4})) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Paso 6.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 2 (\frac{x}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} (\frac{x}{4} + \frac{1}{4})) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Paso 6.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 2 (\frac{x}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Paso 6.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.3.1.1

Multiplica $\frac{x}{4} \cdot \frac{x}{4}$ .

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Paso 6.1.3.1.1.1

Multiplica $\frac{x}{4}$ por $\frac{x}{4}$ .

$y = 2 (\frac{x \cdot x}{4 \cdot 4} + \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Paso 6.1.3.1.1.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = 2 (\frac{x^{1} x}{4 \cdot 4} + \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Paso 6.1.3.1.1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = 2 (\frac{x^{1} x^{1}}{4 \cdot 4} + \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Paso 6.1.3.1.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = 2 (\frac{x^{1 + 1}}{4 \cdot 4} + \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Paso 6.1.3.1.1.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = 2 (\frac{x^{2}}{4 \cdot 4} + \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Paso 6.1.3.1.1.6

Multiplica $4$ por $4$ .

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Paso 6.1.3.1.2

Multiplica $\frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Paso 6.1.3.1.2.1

Multiplica $\frac{x}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{4 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Paso 6.1.3.1.2.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Paso 6.1.3.1.3

Multiplica $\frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4}$ .

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Paso 6.1.3.1.3.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{x}{4}$ .

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{16} + \frac{x}{4 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Paso 6.1.3.1.3.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{16} + \frac{x}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Paso 6.1.3.1.4

Multiplica $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Paso 6.1.3.1.4.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{16} + \frac{x}{16} + \frac{1}{4 \cdot 4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Paso 6.1.3.1.4.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{16} + \frac{x}{16} + \frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Paso 6.1.3.2

Suma $\frac{x}{16}$ y $\frac{x}{16}$ .

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + 2 \frac{x}{16} + \frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Paso 6.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.4.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + 2 \frac{x}{2 (8)} + \frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Paso 6.1.4.2

Cancela el factor común.

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + 2 \frac{x}{2 \cdot 8} + \frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Paso 6.1.4.3

Reescribe la expresión.

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{8} + \frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Paso 6.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 2 \frac{x^{2}}{16} + 2 \frac{x}{8} + 2 (\frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Paso 6.1.6

Simplifica.

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Paso 6.1.6.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.6.1.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$y = 2 \frac{x^{2}}{2 (8)} + 2 \frac{x}{8} + 2 (\frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Paso 6.1.6.1.2

Cancela el factor común.

$y = 2 \frac{x^{2}}{2 \cdot 8} + 2 \frac{x}{8} + 2 (\frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Paso 6.1.6.1.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{2}}{8} + 2 \frac{x}{8} + 2 (\frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Paso 6.1.6.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.6.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + 2 \frac{x}{2 (4)} + 2 (\frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Paso 6.1.6.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{2}}{8} + 2 \frac{x}{2 \cdot 4} + 2 (\frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Paso 6.1.6.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + 2 (\frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Paso 6.1.6.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.6.3.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + 2 \frac{1}{2 (8)} + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Paso 6.1.6.3.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + 2 \frac{1}{2 \cdot 8} + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Paso 6.1.6.3.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + \frac{1}{8} + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Paso 6.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + \frac{1}{8} + 3 \frac{x}{4} + 3 (\frac{1}{4}) - 4$

Paso 6.1.8

Combina $3$ y $\frac{x}{4}$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + \frac{1}{8} + \frac{3 x}{4} + 3 (\frac{1}{4}) - 4$

Paso 6.1.9

Combina $3$ y $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + \frac{1}{8} + \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} - 4$

Paso 6.2

Simplifica los términos.

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Paso 6.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - 4 + \frac{x^{2}}{8} + \frac{1}{8} + \frac{x + 3 x + 3}{4}$

Paso 6.2.2

Suma $x$ y $3 x$ .

$y = - 4 + \frac{x^{2}}{8} + \frac{1}{8} + \frac{4 x + 3}{4}$

Paso 6.3

Para escribir $- 4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} - 4 \cdot \frac{8}{8} + \frac{1}{8} + \frac{4 x + 3}{4}$

Paso 6.4

Combina $- 4$ y $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 4 \cdot 8}{8} + \frac{1}{8} + \frac{4 x + 3}{4}$

Paso 6.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 4 \cdot 8 + 1}{8} + \frac{4 x + 3}{4}$

Paso 6.6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.6.1

Multiplica $- 4$ por $8$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 32 + 1}{8} + \frac{4 x + 3}{4}$

Paso 6.6.2

Suma $- 32$ y $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 31}{8} + \frac{4 x + 3}{4}$

Paso 6.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{x^{2}}{8} - \frac{31}{8} + \frac{4 x + 3}{4}$

Paso 6.8

Para escribir $\frac{4 x + 3}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{4 x + 3}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{31}{8}$

Paso 6.9

Escribe cada expresión con un denominador común de $8$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.9.1

Multiplica $\frac{4 x + 3}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{(4 x + 3) \cdot 2}{4 \cdot 2} - \frac{31}{8}$

Paso 6.9.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{(4 x + 3) \cdot 2}{8} - \frac{31}{8}$

Paso 6.10

Simplifica los términos.

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Paso 6.10.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x^{2} + (4 x + 3) \cdot 2}{8} - \frac{31}{8}$

Paso 6.10.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x^{2} + (4 x + 3) \cdot 2 - 31}{8}$

Paso 6.11

Simplifica cada término.

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Paso 6.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{x^{2} + 4 x \cdot 2 + 3 \cdot 2 - 31}{8}$

Paso 6.11.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$y = \frac{x^{2} + 8 x + 3 \cdot 2 - 31}{8}$

Paso 6.11.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$y = \frac{x^{2} + 8 x + 6 - 31}{8}$

Paso 6.12

Resta $31$ de $6$ .

$y = \frac{x^{2} + 8 x - 25}{8}$