Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 8 x - 4$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 8 x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{3} x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 1.1.2.3

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 1.1.2.4

Combina $\frac{3}{3}$ y $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 1.1.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.1.2.5.1

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 1.1.2.5.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $\frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3}{2} x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 x) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 1.1.3.3

Combina $2$ y $\frac{3}{2}$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 1.1.3.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{6}{2} x + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 1.1.3.5

Combina $\frac{6}{2}$ y $x$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{6 x}{2} + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 1.1.3.6

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 1.1.3.6.1

Factoriza $2$ de $6 x$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2} + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 1.1.3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 1.1.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$f' (x) = x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 1.1.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = x^{2} + \frac{3 x}{1} + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 1.1.3.6.2.4

Divide $3 x$ por $1$ .

$f' (x) = x^{2} + 3 x + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Paso 1.1.4.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} + 3 x + 8 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} + 3 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 1.1.4.3

Multiplica $8$ por $1$ .

$f' (x) = x^{2} + 3 x + 8 + \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 1.1.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.5.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = x^{2} + 3 x + 8 + 0$

Paso 1.1.5.2

Suma $x^{2} + 3 x + 8$ y $0$ .

$f' (x) = x^{2} + 3 x + 8$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $x^{2} + 3 x + 8$ .

$x^{2} + 3 x + 8$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $x^{2} + 3 x + 8 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$x^{2} + 3 x + 8 = 0$

Paso 2.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 3$ y $c = 8$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 8)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ .

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Paso 2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $8$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.3

Resta $32$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.4

Reescribe $- 23$ como $- 1 (23)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (23)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2}$

Paso 2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ .

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Paso 2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $8$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.3

Resta $32$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.4

Reescribe $- 23$ como $- 1 (23)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (23)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2}$

Paso 2.5.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 3 + i \sqrt{23}}{2}$

Paso 2.5.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{23}}{2}$

Paso 2.5.5

Factoriza $- 1$ de $i \sqrt{23}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{23})}{2}$

Paso 2.5.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (3) - (- i \sqrt{23})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{23})}{2}$

Paso 2.5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{23}}{2}$

Paso 2.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ .

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Paso 2.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $8$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.1.3

Resta $32$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.1.4

Reescribe $- 23$ como $- 1 (23)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (23)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2}$

Paso 2.6.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 3 - i \sqrt{23}}{2}$

Paso 2.6.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{23}}{2}$

Paso 2.6.5

Factoriza $- 1$ de $- i \sqrt{23}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{23})}{2}$

Paso 2.6.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (3) - (i \sqrt{23})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{23})}{2}$

Paso 2.6.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{3 + i \sqrt{23}}{2}$

Paso 2.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{23}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{23}}{2}$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos