Cálculo Ejemplos

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16 θ - 8 π}{\cos (2 π - θ)}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 16 θ - 8 π}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 π - θ)}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $θ$ se aproxima a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 16 θ - lim_{θ \to \frac{π}{2}} 8 π}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 π - θ)}$

Paso 1.2.1.2

Mueve el término $16$ fuera del límite porque es constante con respecto a $θ$ .

$\frac{16 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ - lim_{θ \to \frac{π}{2}} 8 π}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 π - θ)}$

Paso 1.2.1.3

Evalúa el límite de $8 π$ que es constante cuando $θ$ se acerca a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{16 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ - 8 π}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 π - θ)}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $θ$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $θ$ .

$\frac{16 \frac{π}{2} - 8 π}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 π - θ)}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$\frac{2 (8) \frac{π}{2} - 8 π}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 π - θ)}$

Paso 1.2.3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 8 \frac{π}{2} - 8 π}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 π - θ)}$

Paso 1.2.3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{8 π - 8 π}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 π - θ)}$

Paso 1.2.3.2

Resta $8 π$ de $8 π$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 π - θ)}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{0}{\cos (lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 π - θ)}$

Paso 1.3.1.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $θ$ se aproxima a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{\cos (lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 π - lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Paso 1.3.1.3

Evalúa el límite de $2 π$ que es constante cuando $θ$ se acerca a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{\cos (2 π - lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $θ$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $θ$ .

$\frac{0}{\cos (2 π - \frac{π}{2})}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.3.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{0}{\cos (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})}$

Paso 1.3.3.2

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{0}{\cos (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})}$

Paso 1.3.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{0}{\cos (\frac{2 π \cdot 2 - π}{2})}$

Paso 1.3.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.3.4.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{0}{\cos (\frac{4 π - π}{2})}$

Paso 1.3.3.4.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{0}{\cos (\frac{3 π}{2})}$

Paso 1.3.3.5

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{0}{\cos (\frac{π}{2})}$

Paso 1.3.3.6

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.7

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16 θ - 8 π}{\cos (2 π - θ)} = lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d θ} [16 θ - 8 π]}{\frac{d}{d θ} [\cos (2 π - θ)]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d θ} [16 θ - 8 π]}{\frac{d}{d θ} [\cos (2 π - θ)]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $16 θ - 8 π$ con respecto a $θ$ es $\frac{d}{d θ} [16 θ] + \frac{d}{d θ} [- 8 π]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d θ} [16 θ] + \frac{d}{d θ} [- 8 π]}{\frac{d}{d θ} [\cos (2 π - θ)]}$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d θ} [16 θ]$ .

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Paso 3.3.1

Como $16$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $16 θ$ con respecto a $θ$ es $16 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16 \frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [- 8 π]}{\frac{d}{d θ} [\cos (2 π - θ)]}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ es $n θ^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16 \cdot 1 + \frac{d}{d θ} [- 8 π]}{\frac{d}{d θ} [\cos (2 π - θ)]}$

Paso 3.3.3

Multiplica $16$ por $1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16 + \frac{d}{d θ} [- 8 π]}{\frac{d}{d θ} [\cos (2 π - θ)]}$

Paso 3.4

Como $- 8 π$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $- 8 π$ con respecto a $θ$ es $0$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16 + 0}{\frac{d}{d θ} [\cos (2 π - θ)]}$

Paso 3.5

Suma $16$ y $0$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{\frac{d}{d θ} [\cos (2 π - θ)]}$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ es $f' (g (θ)) g' (θ)$ donde $f (θ) = \cos (θ)$ y $g (θ) = 2 π - θ$ .

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Paso 3.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 π - θ$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d θ} [2 π - θ]}$

Paso 3.6.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{- \sin (u) \frac{d}{d θ} [2 π - θ]}$

Paso 3.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 π - θ$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{- \sin (2 π - θ) \frac{d}{d θ} [2 π - θ]}$

Paso 3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $2 π - θ$ con respecto a $θ$ es $\frac{d}{d θ} [2 π] + \frac{d}{d θ} [- θ]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{- \sin (2 π - θ) (\frac{d}{d θ} [2 π] + \frac{d}{d θ} [- θ])}$

Paso 3.8

Como $2 π$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $2 π$ con respecto a $θ$ es $0$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{- \sin (2 π - θ) (0 + \frac{d}{d θ} [- θ])}$

Paso 3.9

Suma $0$ y $\frac{d}{d θ} [- θ]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{- \sin (2 π - θ) \frac{d}{d θ} [- θ]}$

Paso 3.10

Como $- 1$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $- θ$ con respecto a $θ$ es $- \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{- \sin (2 π - θ) (- \frac{d}{d θ} [θ])}$

Paso 3.11

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{1 \sin (2 π - θ) \frac{d}{d θ} [θ]}$

Paso 3.12

Multiplica $\sin (2 π - θ)$ por $1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{\sin (2 π - θ) \frac{d}{d θ} [θ]}$

Paso 3.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ es $n θ^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{\sin (2 π - θ) \cdot 1}$

Paso 3.14

Multiplica $\sin (2 π - θ)$ por $1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{\sin (2 π - θ)}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Mueve el término $16$ fuera del límite porque es constante con respecto a $θ$ .

$16 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{1}{\sin (2 π - θ)}$

Paso 4.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $θ$ se aproxima a $\frac{π}{2}$ .

$16 \frac{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (2 π - θ)}$

Paso 4.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $θ$ se acerca a $\frac{π}{2}$ .

$16 \frac{1}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (2 π - θ)}$

Paso 4.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$16 \frac{1}{\sin (lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 π - θ)}$

Paso 4.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $θ$ se aproxima a $\frac{π}{2}$ .

$16 \frac{1}{\sin (lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 π - lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Paso 4.6

Evalúa el límite de $2 π$ que es constante cuando $θ$ se acerca a $\frac{π}{2}$ .

$16 \frac{1}{\sin (2 π - lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Paso 5

Evalúa el límite de $θ$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $θ$ .

$16 \frac{1}{\sin (2 π - \frac{π}{2})}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Convierte de $\frac{1}{\sin (2 π - \frac{π}{2})}$ a $\csc (2 π - \frac{π}{2})$ .

$16 \csc (2 π - \frac{π}{2})$

Paso 6.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$16 \csc (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Paso 6.3

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$16 \csc (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Paso 6.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$16 \csc (\frac{2 π \cdot 2 - π}{2})$

Paso 6.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.5.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$16 \csc (\frac{4 π - π}{2})$

Paso 6.5.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$16 \csc (\frac{3 π}{2})$

Paso 6.6

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque la cosecante es negativa en el cuarto cuadrante.

$16 (- \csc (\frac{π}{2}))$

Paso 6.7

El valor exacto de $\csc (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$16 (- 1 \cdot 1)$

Paso 6.8

Multiplica $16 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 6.8.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$16 \cdot - 1$

Paso 6.8.2

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$- 16$