Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (3 x + 5)}{\ln (7 x + 3) + 1}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (3 x + 5)}{lim_{x \to \infty} \ln (7 x + 3) + 1}$

Paso 1.2

A medida que el logaritmo se acerca al infinito, el valor va a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (7 x + 3) + 1}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (7 x + 3) + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 1.3.2

A medida que el logaritmo se acerca al infinito, el valor va a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 1.3.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + 1}$

Paso 1.3.4

Infinito más o menos un número es infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.3.5

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (3 x + 5)}{\ln (7 x + 3) + 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 3 x + 5$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x + 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

Paso 3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x + 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

Paso 3.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

Paso 3.6

Multiplica $3$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} (3 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

Paso 3.7

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} (3 + 0)}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

Paso 3.8

Suma $3$ y $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

Paso 3.9

Combina $\frac{1}{3 x + 5}$ y $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

Paso 3.10

Según la regla de la suma, la derivada de $\ln (7 x + 3) + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3)] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3)] + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 3.11

Evalúa $\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3)]$ .

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Paso 3.11.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 7 x + 3$ .

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Paso 3.11.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $7 x + 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [7 x + 3] + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 3.11.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [7 x + 3] + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 3.11.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $7 x + 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{1}{7 x + 3} \frac{d}{d x} [7 x + 3] + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 3.11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{1}{7 x + 3} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 3.11.3

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{1}{7 x + 3} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 3.11.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{1}{7 x + 3} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 3.11.5

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{1}{7 x + 3} (7 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 3.11.6

Multiplica $7$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{1}{7 x + 3} (7 + 0) + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 3.11.7

Suma $7$ y $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{1}{7 x + 3} \cdot 7 + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 3.11.8

Combina $\frac{1}{7 x + 3}$ y $7$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{7}{7 x + 3} + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 3.12

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{7}{7 x + 3} + 0}$

Paso 3.13

Suma $\frac{7}{7 x + 3}$ y $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{7}{7 x + 3}}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{3}{3 x + 5} \cdot \frac{7 x + 3}{7}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{3}{3 x + 5}$ por $\frac{7 x + 3}{7}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (7 x + 3)}{(3 x + 5) \cdot 7}$

Paso 5.2

Mueve el término $\frac{3}{7}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3}{7} lim_{x \to \infty} \frac{7 x + 3}{3 x + 5}$

Paso 6

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x$ .

$\frac{3}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{5}{x}}$

Paso 7

Evalúa el límite.

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Paso 7.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{5}{x}}$

Paso 7.1.2

Divide $7$ por $1$ .

$\frac{3}{7} lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{3}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{5}{x}}$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{7} lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{3}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{5}{x}}$

Paso 7.2.2

Divide $3$ por $1$ .

$\frac{3}{7} lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{3}{x}}{3 + \frac{5}{x}}$

Paso 7.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 7 + \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Paso 7.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 7 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Paso 7.5

Evalúa el límite de $7$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Paso 7.6

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Paso 8

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Paso 9

Evalúa el límite.

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Paso 9.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}$

Paso 9.2

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7 + 3 \cdot 0}{3 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}$

Paso 9.3

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7 + 3 \cdot 0}{3 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 10

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7 + 3 \cdot 0}{3 + 5 \cdot 0}$

Paso 11

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.1

Simplifica el numerador.

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Paso 11.1.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7 + 0}{3 + 5 \cdot 0}$

Paso 11.1.2

Suma $7$ y $0$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3 + 5 \cdot 0}$

Paso 11.2

Simplifica el denominador.

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Paso 11.2.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3 + 0}$

Paso 11.2.2

Suma $3$ y $0$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3}$

Paso 11.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 11.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3}$

Paso 11.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{7} \cdot 7$

Paso 11.4

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 11.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{7} \cdot 7$

Paso 11.4.2

Reescribe la expresión.

$1$