Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} {(1 + 2 x)}^{\frac{7}{2 \ln (x)}}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 1.1

Reescribe ${(1 + 2 x)}^{\frac{7}{2 \ln (x)}}$ como $e^{\ln ({(1 + 2 x)}^{\frac{7}{2 \ln (x)}})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(1 + 2 x)}^{\frac{7}{2 \ln (x)}})}$

Paso 1.2

Expande $\ln ({(1 + 2 x)}^{\frac{7}{2 \ln (x)}})$ ; para ello, mueve $\frac{7}{2 \ln (x)}$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{7}{2 \ln (x)} \ln (1 + 2 x)}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{7}{2 \ln (x)} \ln (1 + 2 x)}$

Paso 2.2

Combina $\frac{7}{2 \ln (x)}$ y $\ln (1 + 2 x)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{7 \ln (1 + 2 x)}{2 \ln (x)}}$

Paso 2.3

Mueve el término $\frac{7}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + 2 x)}{\ln (x)}}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$e^{\frac{7}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} \ln (1 + 2 x)}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}}$

Paso 3.1.2

A medida que el logaritmo se acerca al infinito, el valor va a $\infty$ .

$e^{\frac{7}{2} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}}$

Paso 3.1.3

A medida que el logaritmo se acerca al infinito, el valor va a $\infty$ .

$e^{\frac{7}{2} \cdot \frac{\infty}{\infty}}$

Paso 3.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$e^{\frac{7}{2} \cdot \frac{\infty}{\infty}}$

Paso 3.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + 2 x)}{\ln (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 2 x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 2 x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 1 + 2 x$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + 2 x$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Paso 3.3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + 2 x$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Paso 3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Paso 3.3.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} (0 + \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Paso 3.3.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Paso 3.3.6

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Paso 3.3.7

Combina $2$ y $\frac{1}{1 + 2 x}$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{1 + 2 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Paso 3.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{1 + 2 x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Paso 3.3.9

Multiplica $\frac{2}{1 + 2 x}$ por $1$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{1 + 2 x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Paso 3.3.10

Reordena los términos.

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{2 x + 1}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Paso 3.3.11

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{2 x + 1}}{\frac{1}{x}}}$

Paso 3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2}{2 x + 1} x}$

Paso 3.5

Combina $\frac{2}{2 x + 1}$ y $x$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x + 1}}$

Paso 4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{2 x + 1}}$

Paso 5

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x$ .

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.1.1

Cancela el factor común.

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Paso 6.1.2

Reescribe la expresión.

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común.

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Paso 6.2.2

Divide $2$ por $1$ .

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 + \frac{1}{x}}}$

Paso 6.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}}$

Paso 6.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}}$

Paso 6.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 6.6

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 \frac{1}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 7

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 \frac{1}{2 + 0}}$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.1.1

Cancela el factor común.

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 \frac{1}{2 + 0}}$

Paso 8.1.2

Reescribe la expresión.

$e^{7 \frac{1}{2 + 0}}$

Paso 8.2

Suma $2$ y $0$ .

$e^{7 (\frac{1}{2})}$

Paso 8.3

Combina $7$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{7}{2}}$