Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x)}{\cot (x)}$

Paso 1

Establece el límite como un límite izquierdo.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\ln (x)}{\cot (x)}$

Paso 2

Evalúa los límites al insertar el valor para la variable.

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Paso 2.1

Evalúa el límite de $\frac{\ln (x)}{\cot (x)}$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\ln (0)}{\cot (0)}$

Paso 2.2

Reescribe $\cot (0)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\ln (0)}{\frac{\cos (0)}{\sin (0)}}$

Paso 2.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{\ln (0)}{\frac{\cos (0)}{0}}$

Paso 2.4

Como $\frac{\ln (0)}{\frac{\cos (0)}{0}}$ es indefinida, el límite no existe.

$No existe$

Paso 3

Establece el límite como un límite derecho.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\cot (x)}$

Paso 4

Evalúa el límite derecho.

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Paso 4.1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 4.1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 4.1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}$

Paso 4.1.1.2

A medida que $x$ se acerca a $0$ desde el lado derecho, $\ln (x)$ disminuye sin cota.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}$

Paso 4.1.1.3

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ desde la derecha, los valores de la función aumentan sin cota.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Paso 4.1.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{- \infty}{\infty}$

Paso 4.1.2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\cot (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Paso 4.1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 4.1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Paso 4.1.3.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Paso 4.1.3.3

La derivada de $\cot (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \csc^{2} (x)}$

Paso 4.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{- \csc^{2} (x)}$

Paso 4.1.5

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{- \csc^{2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x (- \csc^{2} (x))}$

Paso 4.1.6

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 4.1.6.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1 (- 1)}{x (- \csc^{2} (x))}$

Paso 4.1.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{1}{x (\csc^{2} (x))}$

Paso 4.2

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x (\csc^{2} (x))}$

Paso 4.3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x (\csc^{2} (x))}$ se acerca a $0$ .

$- 0$

Paso 4.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0$

Paso 5

Si ninguno de los límites unilaterales existe, el límite no existe.

$No existe$