Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x + 1)}{e^{5 x} - 1}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}{lim_{x \to 0} e^{5 x} - 1}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1.1

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + 1)}{lim_{x \to 0} e^{5 x} - 1}$

Paso 1.2.1.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}{lim_{x \to 0} e^{5 x} - 1}$

Paso 1.2.1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + 1)}{lim_{x \to 0} e^{5 x} - 1}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\ln (0 + 1)}{lim_{x \to 0} e^{5 x} - 1}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} e^{5 x} - 1}$

Paso 1.2.3.2

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{5 x} - 1}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{5 x} - lim_{x \to 0} 1}$

Paso 1.3.1.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 0} 5 x} - lim_{x \to 0} 1}$

Paso 1.3.1.3

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{e^{5 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

Paso 1.3.1.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{e^{5 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{e^{5 \cdot 0} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.1.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.3.3.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.3.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x + 1)}{e^{5 x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Paso 3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Paso 3.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Paso 3.6

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Paso 3.7

Multiplica $\frac{1}{x + 1}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Paso 3.8

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{5 x} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.9

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.9.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 5 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.9.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.9.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{e^{u} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.9.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.9.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.9.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{e^{5 x} (5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.9.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{e^{5 x} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.9.5

Mueve $5$ a la izquierda de $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{5 e^{5 x} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 3.10

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{5 e^{5 x} + 0}$

Paso 3.11

Suma $5 e^{5 x}$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{5 e^{5 x}}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{5 e^{5 x}}$

Paso 5

Multiplica $\frac{1}{x + 1}$ por $\frac{1}{5 e^{5 x}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{(x + 1) (5 e^{5 x})}$

Paso 6

Mueve el término $\frac{1}{5}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{1}{(x + 1) (e^{5 x})}$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} (x + 1) (e^{5 x})}$

Paso 8

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} (x + 1) (e^{5 x})}$

Paso 9

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} x + 1 \cdot lim_{x \to 0} e^{5 x}}$

Paso 10

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{(lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} e^{5 x}}$

Paso 11

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot lim_{x \to 0} e^{5 x}}$

Paso 12

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} 5 x}}$

Paso 13

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{5 lim_{x \to 0} x}}$

Paso 14

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{(0 + 1) \cdot e^{5 lim_{x \to 0} x}}$

Paso 14.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{(0 + 1) \cdot e^{5 \cdot 0}}$

Paso 15

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.1

Combinar.

$\frac{1 \cdot 1}{5 ((0 + 1) \cdot e^{5 \cdot 0})}$

Paso 15.2

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{1}{5 (0 + 1) \cdot e^{5 \cdot 0}}$

Paso 15.3

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.3.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{1}{5 (0 + 1) e^{0}}$

Paso 15.3.2

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{1}{5 \cdot 1 e^{0}}$

Paso 15.3.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{1}{5 e^{0}}$

Paso 15.3.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1}{5 \cdot 1}$

Paso 15.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{1}{5}$