Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{x + x^{2}}{9 - 2 x^{2}}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} x + x^{2}}{lim_{x \to \infty} 9 - 2 x^{2}}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Reordena $x$ y $x^{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + x}{lim_{x \to \infty} 9 - 2 x^{2}}$

Paso 1.2.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 9 - 2 x^{2}}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Reordena $9$ y $- 2 x^{2}$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - 2 x^{2} + 9}$

Paso 1.3.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal negativo es infinito negativo.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Paso 1.3.3

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{- \infty}$

Paso 1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{- \infty}$

Paso 2

Como $\frac{\infty}{- \infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{x + x^{2}}{9 - 2 x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [9 - 2 x^{2}]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [9 - 2 x^{2}]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [9 - 2 x^{2}]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [9 - 2 x^{2}]}$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + 2 x}{\frac{d}{d x} [9 - 2 x^{2}]}$

Paso 3.5

Reordena los términos.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [9 - 2 x^{2}]}$

Paso 3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $9 - 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]}$

Paso 3.7

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]}$

Paso 3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Paso 3.8.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{0 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{0 - 2 (2 x)}$

Paso 3.8.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{0 - 4 x}$

Paso 3.9

Resta $4 x$ de $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{- 4 x}$

Paso 4

Mueve el término $\frac{1}{- 4}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{- 4} lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{x}$

Paso 5

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x$ .

$\frac{1}{- 4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{- 4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}$

Paso 6.1.2

Divide $2$ por $1$ .

$\frac{1}{- 4} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{- 4} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}$

Paso 6.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{- 4} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1}$

Paso 6.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 6.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 6.5

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{2 + 0}{lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 8

Evalúa el límite.

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Paso 8.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{2 + 0}{1}$

Paso 8.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{2 + 0}{1}$

Paso 8.2.2

Divide $2 + 0$ por $1$ .

$- \frac{1}{4} (2 + 0)$

Paso 8.2.3

Suma $2$ y $0$ .

$- \frac{1}{4} \cdot 2$

Paso 8.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{4}$ al numerador.

$\frac{- 1}{4} \cdot 2$

Paso 8.2.4.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{- 1}{2 (2)} \cdot 2$

Paso 8.2.4.3

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot 2$

Paso 8.2.4.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{2}$

Paso 8.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2}$