Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x + 2$ ; $x = 3$

Paso 1

Obtén la derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{3} x^{3} - x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{3} x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2.3

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2.4

Combina $\frac{3}{3}$ y $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2.5.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x^{2} - 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{2} - 1 + 0$

Paso 1.4.2

Suma $x^{2} - 1$ y $0$ .

$x^{2} - 1$

Paso 2

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f' (3) = {(3)}^{2} - 1$

Paso 3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f' (3) = 9 - 1$

Paso 4

Resta $1$ de $9$ .

$f' (3) = 8$