Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt{36 - x^{2}}$ , $y = 0$

Paso 1

Para obtener el volumen del sólido, primero define el área de cada parte, luego integra en el rango. El área de cada parte es el área de un círculo con radio $f (x)$ y $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 6}^{6} {(f (x))}^{2} d x$ donde $f (x) = \sqrt{(6 + x) (6 - x)}$

Paso 2

Simplifica el integrando.

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Paso 2.1

Reescribe ${\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}^{2}$ como $(6 + x) (6 - x)$ .

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Paso 2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(6 + x) (6 - x)}$ como ${((6 + x) (6 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$V = {({((6 + x) (6 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = {((6 + x) (6 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 2.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$V = {((6 + x) (6 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.4.1

Cancela el factor común.

$V = {((6 + x) (6 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$V = (6 + x) (6 - x)$

Paso 2.1.5

Simplifica.

$V = (6 + x) (6 - x)$

Paso 2.2

Expande $(6 + x) (6 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$V = 6 (6 - x) + x (6 - x)$

Paso 2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$V = 6 \cdot 6 + 6 (- x) + x (6 - x)$

Paso 2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$V = 6 \cdot 6 + 6 (- x) + x \cdot 6 + x (- x)$

Paso 2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Multiplica $6$ por $6$ .

$V = 36 + 6 (- x) + x \cdot 6 + x (- x)$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$V = 36 - 6 x + x \cdot 6 + x (- x)$

Paso 2.3.1.3

Mueve $6$ a la izquierda de $x$ .

$V = 36 - 6 x + 6 \cdot x + x (- x)$

Paso 2.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$V = 36 - 6 x + 6 x - x \cdot x$

Paso 2.3.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.1.5.1

Mueve $x$ .

$V = 36 - 6 x + 6 x - (x \cdot x)$

Paso 2.3.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$V = 36 - 6 x + 6 x - x^{2}$

Paso 2.3.2

Suma $- 6 x$ y $6 x$ .

$V = 36 + 0 - x^{2}$

Paso 2.3.3

Suma $36$ y $0$ .

$V = 36 - x^{2}$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$V = π (\int_{- 6}^{6} 36 d x + \int_{- 6}^{6} - x^{2} d x)$

Paso 4

Aplica la regla de la constante.

$V = π (36 x]_{- 6}^{6} + \int_{- 6}^{6} - x^{2} d x)$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$V = π (36 x]_{- 6}^{6} - \int_{- 6}^{6} x^{2} d x)$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (36 x]_{- 6}^{6} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 6}^{6}))$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$V = π (36 x]_{- 6}^{6} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 6}^{6}))$

Paso 7.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.2.1

Evalúa $36 x$ en $6$ y en $- 6$ .

$V = π ((36 \cdot 6) - 36 \cdot - 6 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 6}^{6}))$

Paso 7.2.2

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $6$ y en $- 6$ .

$V = π (36 \cdot 6 - 36 \cdot - 6 - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Paso 7.2.3

Simplifica.

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Paso 7.2.3.1

Multiplica $36$ por $6$ .

$V = π (216 - 36 \cdot - 6 - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Paso 7.2.3.2

Multiplica $- 36$ por $- 6$ .

$V = π (216 + 216 - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Paso 7.2.3.3

Suma $216$ y $216$ .

$V = π (432 - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Paso 7.2.3.4

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$V = π (432 - (\frac{216}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Paso 7.2.3.5

Cancela el factor común de $216$ y $3$ .

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Paso 7.2.3.5.1

Factoriza $3$ de $216$ .

$V = π (432 - (\frac{3 \cdot 72}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Paso 7.2.3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.5.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$V = π (432 - (\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Paso 7.2.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$V = π (432 - (\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Paso 7.2.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$V = π (432 - (\frac{72}{1} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Paso 7.2.3.5.2.4

Divide $72$ por $1$ .

$V = π (432 - (72 - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Paso 7.2.3.6

Eleva $- 6$ a la potencia de $3$ .

$V = π (432 - (72 - \frac{- 216}{3}))$

Paso 7.2.3.7

Cancela el factor común de $- 216$ y $3$ .

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Paso 7.2.3.7.1

Factoriza $3$ de $- 216$ .

$V = π (432 - (72 - \frac{3 \cdot - 72}{3}))$

Paso 7.2.3.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.7.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$V = π (432 - (72 - \frac{3 \cdot - 72}{3 (1)}))$

Paso 7.2.3.7.2.2

Cancela el factor común.

$V = π (432 - (72 - \frac{3 \cdot - 72}{3 \cdot 1}))$

Paso 7.2.3.7.2.3

Reescribe la expresión.

$V = π (432 - (72 - \frac{- 72}{1}))$

Paso 7.2.3.7.2.4

Divide $- 72$ por $1$ .

$V = π (432 - (72 + 72))$

Paso 7.2.3.8

Multiplica $- 1$ por $- 72$ .

$V = π (432 - (72 + 72))$

Paso 7.2.3.9

Suma $72$ y $72$ .

$V = π (432 - 1 \cdot 144)$

Paso 7.2.3.10

Multiplica $- 1$ por $144$ .

$V = π (432 - 144)$

Paso 7.2.3.11

Resta $144$ de $432$ .

$V = π \cdot 288$

Paso 7.2.3.12

Mueve $288$ a la izquierda de $π$ .

$V = 288 π$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$V = 288 π$

Forma decimal:

$V = 904.77868423 \dots$

Paso 9