Cálculo Ejemplos

$\frac{\sec (q) + \csc (q)}{\csc (q)}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ es $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ donde $f (q) = \sec (q) + \csc (q)$ y $g (q) = \csc (q)$ .

$\frac{\csc (q) \frac{d}{d q} [\sec (q) + \csc (q)] - (\sec (q) + \csc (q)) \frac{d}{d q} [\csc (q)]}{\csc^{2} (q)}$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de $\sec (q) + \csc (q)$ con respecto a $q$ es $\frac{d}{d q} [\sec (q)] + \frac{d}{d q} [\csc (q)]$ .

$\frac{\csc (q) (\frac{d}{d q} [\sec (q)] + \frac{d}{d q} [\csc (q)]) - (\sec (q) + \csc (q)) \frac{d}{d q} [\csc (q)]}{\csc^{2} (q)}$

Paso 3

La derivada de $\sec (q)$ con respecto a $q$ es $\sec (q) \tan (q)$ .

$\frac{\csc (q) (\sec (q) \tan (q) + \frac{d}{d q} [\csc (q)]) - (\sec (q) + \csc (q)) \frac{d}{d q} [\csc (q)]}{\csc^{2} (q)}$

Paso 4

La derivada de $\csc (q)$ con respecto a $q$ es $- \csc (q) \cot (q)$ .

$\frac{\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q)) - (\sec (q) + \csc (q)) \frac{d}{d q} [\csc (q)]}{\csc^{2} (q)}$

Paso 5

La derivada de $\csc (q)$ con respecto a $q$ es $- \csc (q) \cot (q)$ .

$\frac{\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q)) - (\sec (q) + \csc (q)) (- \csc (q) \cot (q))}{\csc^{2} (q)}$

Paso 6

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q)) + 1 (\sec (q) + \csc (q)) (\csc (q) \cot (q))}{\csc^{2} (q)}$

Paso 6.2

Multiplica $\sec (q) + \csc (q)$ por $1$ .

$\frac{\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q)) + (\sec (q) + \csc (q)) (\csc (q) \cot (q))}{\csc^{2} (q)}$

Paso 6.3

Factoriza $\csc (q)$ de $\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q)) + (\sec (q) + \csc (q)) \csc (q) \cot (q)$ .

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Paso 6.3.1

Factoriza $\csc (q)$ de $(\sec (q) + \csc (q)) \csc (q) \cot (q)$ .

$\frac{\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q)) + \csc (q) ((\sec (q) + \csc (q)) \cot (q))}{\csc^{2} (q)}$

Paso 6.3.2

Factoriza $\csc (q)$ de $\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q)) + \csc (q) ((\sec (q) + \csc (q)) \cot (q))$ .

$\frac{\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q) + (\sec (q) + \csc (q)) \cot (q))}{\csc^{2} (q)}$

Paso 7

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.1

Factoriza $\csc (q)$ de $\csc^{2} (q)$ .

$\frac{\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q) + (\sec (q) + \csc (q)) \cot (q))}{\csc (q) \csc (q)}$

Paso 7.2

Cancela el factor común.

$\frac{\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q) + (\sec (q) + \csc (q)) \cot (q))}{\csc (q) \csc (q)}$

Paso 7.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q) + (\sec (q) + \csc (q)) \cot (q)}{\csc (q)}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q) + \sec (q) \cot (q) + \csc (q) \cot (q)}{\csc (q)}$

Paso 8.2

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.1

Combina los términos opuestos en $\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q) + \sec (q) \cot (q) + \csc (q) \cot (q)$ .

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Paso 8.2.1.1

Suma $- \csc (q) \cot (q)$ y $\csc (q) \cot (q)$ .

$\frac{\sec (q) \tan (q) + \sec (q) \cot (q) + 0}{\csc (q)}$

Paso 8.2.1.2

Suma $\sec (q) \tan (q) + \sec (q) \cot (q)$ y $0$ .

$\frac{\sec (q) \tan (q) + \sec (q) \cot (q)}{\csc (q)}$

Paso 8.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.2.1

Reescribe en términos de senos y cosenos, luego, cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.2.1.1

Reordena $\sec (q)$ y $\cot (q)$ .

$\frac{\sec (q) \tan (q) + \cot (q) \sec (q)}{\csc (q)}$

Paso 8.2.2.1.2

Reescribe $\sec (q) \cot (q)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\sec (q) \tan (q) + \frac{\cos (q)}{\sin (q)} \cdot \frac{1}{\cos (q)}}{\csc (q)}$

Paso 8.2.2.1.3

Cancela los factores comunes.

$\frac{\sec (q) \tan (q) + \frac{1}{\sin (q)}}{\csc (q)}$

Paso 8.2.2.2

Convierte de $\frac{1}{\sin (q)}$ a $\csc (q)$ .

$\frac{\sec (q) \tan (q) + \csc (q)}{\csc (q)}$