Cálculo Ejemplos

$\frac{π h^{2} (3 r - h)}{3}$

Paso 1

Como $\frac{π}{3}$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $\frac{π h^{2} (3 r - h)}{3}$ con respecto a $h$ es $\frac{π}{3} \frac{d}{d h} [h^{2} (3 r - h)]$ .

$\frac{π}{3} \frac{d}{d h} [h^{2} (3 r - h)]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ es $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ donde $f (h) = h^{2}$ y $g (h) = 3 r - h$ .

$\frac{π}{3} (h^{2} \frac{d}{d h} [3 r - h] + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 r - h$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [3 r] + \frac{d}{d h} [- h]$ .

$\frac{π}{3} (h^{2} (\frac{d}{d h} [3 r] + \frac{d}{d h} [- h]) + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

Paso 3.2

Como $3 r$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $3 r$ con respecto a $h$ es $0$ .

$\frac{π}{3} (h^{2} (0 + \frac{d}{d h} [- h]) + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

Paso 3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d h} [- h]$ .

$\frac{π}{3} (h^{2} \frac{d}{d h} [- h] + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

Paso 3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $- h$ con respecto a $h$ es $- \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{π}{3} (h^{2} (- \frac{d}{d h} [h]) + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{π}{3} (h^{2} (- 1 \cdot 1) + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

Paso 3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{π}{3} (h^{2} \cdot - 1 + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

Paso 3.6.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $h^{2}$ .

$\frac{π}{3} (- 1 \cdot h^{2} + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

Paso 3.6.3

Reescribe $- 1 h^{2}$ como $- h^{2}$ .

$\frac{π}{3} (- h^{2} + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{π}{3} (- h^{2} + (3 r - h) (2 h))$

Paso 3.8

Mueve $2$ a la izquierda de $3 r - h$ .

$\frac{π}{3} (- h^{2} + 2 \cdot (3 r - h) h)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{π}{3} (- h^{2} + (2 (3 r) + 2 (- h)) h)$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{π}{3} (- h^{2} + 2 (3 r) h + 2 (- h) h)$

Paso 4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{π}{3} (- h^{2}) + \frac{π}{3} (2 (3 r) h) + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Paso 4.4

Combina los términos.

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Paso 4.4.1

Combina $\frac{π}{3}$ y $h^{2}$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{π}{3} (2 (3 r) h) + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Paso 4.4.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{π}{3} (6 r h) + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Paso 4.4.3

Combina $6$ y $\frac{π}{3}$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{6 π}{3} (r h) + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Paso 4.4.4

Combina $r$ y $\frac{6 π}{3}$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{r (6 π)}{3} h + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Paso 4.4.5

Combina $\frac{r (6 π)}{3}$ y $h$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{r (6 π) h}{3} + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Paso 4.4.6

Mueve $6$ a la izquierda de $r$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{6 \cdot r π h}{3} + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Paso 4.4.7

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 4.4.7.1

Factoriza $3$ de $6 r π h$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{3 (2 r π h)}{3} + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Paso 4.4.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.4.7.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{3 (2 r π h)}{3 (1)} + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Paso 4.4.7.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{3 (2 r π h)}{3 \cdot 1} + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Paso 4.4.7.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{2 r π h}{1} + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Paso 4.4.7.2.4

Divide $2 r π h$ por $1$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Paso 4.4.8

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{π}{3} (- 2 h \cdot h)$

Paso 4.4.9

Eleva $h$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{π}{3} (- 2 (h^{1} h))$

Paso 4.4.10

Eleva $h$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{π}{3} (- 2 (h^{1} h^{1}))$

Paso 4.4.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{π}{3} (- 2 h^{1 + 1})$

Paso 4.4.12

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{π}{3} (- 2 h^{2})$

Paso 4.4.13

Combina $- 2$ y $\frac{π}{3}$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{- 2 π}{3} h^{2}$

Paso 4.4.14

Combina $\frac{- 2 π}{3}$ y $h^{2}$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{- 2 π h^{2}}{3}$

Paso 4.4.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h - \frac{2 π h^{2}}{3}$

Paso 4.4.16

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 r π h + \frac{- π h^{2} - 2 π h^{2}}{3}$

Paso 4.4.17

Resta $2 π h^{2}$ de $- π h^{2}$ .

$2 r π h + \frac{- 3 π h^{2}}{3}$

Paso 4.4.18

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

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Paso 4.4.18.1

Factoriza $3$ de $- 3 π h^{2}$ .

$2 r π h + \frac{3 (- π h^{2})}{3}$

Paso 4.4.18.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.4.18.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$2 r π h + \frac{3 (- π h^{2})}{3 (1)}$

Paso 4.4.18.2.2

Cancela el factor común.

$2 r π h + \frac{3 (- π h^{2})}{3 \cdot 1}$

Paso 4.4.18.2.3

Reescribe la expresión.

$2 r π h + \frac{- π h^{2}}{1}$

Paso 4.4.18.2.4

Divide $- π h^{2}$ por $1$ .

$2 r π h - π h^{2}$

Paso 4.5

Reordena los términos.

$2 π h r - π h^{2}$