Cálculo Ejemplos

$f (x) = x e^{- 3 x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{- 3 x}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - 3 x$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- 3 x$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 3 x)) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f' (x) = x (e^{u} \frac{d}{d x} (- 3 x)) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 3 x$ .

$f' (x) = x (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} (- 3 x)) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} x)) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = x (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$f' (x) = x (e^{- 3 x} \cdot - 3) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.3.3.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $e^{- 3 x}$ .

$f' (x) = x (- 3 \cdot e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \cdot 1$

Paso 1.1.3.5

Multiplica $e^{- 3 x}$ por $1$ .

$f' (x) = x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Reordena los términos.

$f' (x) = - 3 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x}$

Paso 1.1.4.2

Reordena los factores en $- 3 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x}$ .

$f' (x) = - 3 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 3 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$ .

$- 3 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 3 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 3 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x} = 0$

Paso 2.2

Factoriza $e^{- 3 x}$ de $- 3 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $e^{- 3 x}$ de $- 3 x e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} (- 3 x) + e^{- 3 x} = 0$

Paso 2.2.2

Multiplica por $1$ .

$e^{- 3 x} (- 3 x) + e^{- 3 x} \cdot 1 = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $e^{- 3 x}$ de $e^{- 3 x} (- 3 x) + e^{- 3 x} \cdot 1$ .

$e^{- 3 x} (- 3 x + 1) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{- 3 x} = 0$

$- 3 x + 1 = 0$

Paso 2.4

Establece $e^{- 3 x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $e^{- 3 x}$ igual a $0$ .

$e^{- 3 x} = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $e^{- 3 x} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- 3 x}) = \ln (0)$

Paso 2.4.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 2.4.2.3

No hay soluciones para $e^{- 3 x} = 0$

No hay solución

Paso 2.5

Establece $- 3 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $- 3 x + 1$ igual a $0$ .

$- 3 x + 1 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $- 3 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 x = - 1$

Paso 2.5.2.2

Divide cada término en $- 3 x = - 1$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 2.5.2.2.1

Divide cada término en $- 3 x = - 1$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Paso 2.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 2.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Paso 2.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 3}$

Paso 2.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{1}{3}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $e^{- 3 x} (- 3 x + 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{3}$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

Paso 4

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = - 3 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = x e^{- 3 x}$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, \frac{1}{3})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{2}{3}$ en la expresión.

$f' (- \frac{2}{3}) = - 3 (- \frac{2}{3}) \cdot e^{- 3 (- \frac{2}{3})} + e^{- 3 (- \frac{2}{3})}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{3}$ al numerador.

$f' (- \frac{2}{3}) = - 3 (\frac{- 2}{3}) \cdot e^{- 3 (- \frac{2}{3})} + e^{- 3 (- \frac{2}{3})}$

Paso 5.2.1.1.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$f' (- \frac{2}{3}) = 3 (- 1) (\frac{- 2}{3}) \cdot e^{- 3 (- \frac{2}{3})} + e^{- 3 (- \frac{2}{3})}$

Paso 5.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$f' (- \frac{2}{3}) = 3 \cdot (- 1 (\frac{- 2}{3})) \cdot e^{- 3 (- \frac{2}{3})} + e^{- 3 (- \frac{2}{3})}$

Paso 5.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$f' (- \frac{2}{3}) = - 1 \cdot - 2 \cdot e^{- 3 (- \frac{2}{3})} + e^{- 3 (- \frac{2}{3})}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f' (- \frac{2}{3}) = 2 \cdot e^{- 3 (- \frac{2}{3})} + e^{- 3 (- \frac{2}{3})}$

Paso 5.2.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{3}$ al numerador.

$f' (- \frac{2}{3}) = 2 \cdot e^{- 3 (\frac{- 2}{3})} + e^{- 3 (- \frac{2}{3})}$

Paso 5.2.1.3.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$f' (- \frac{2}{3}) = 2 \cdot e^{3 (- 1) (\frac{- 2}{3})} + e^{- 3 (- \frac{2}{3})}$

Paso 5.2.1.3.3

Cancela el factor común.

$f' (- \frac{2}{3}) = 2 \cdot e^{3 \cdot (- 1 (\frac{- 2}{3}))} + e^{- 3 (- \frac{2}{3})}$

Paso 5.2.1.3.4

Reescribe la expresión.

$f' (- \frac{2}{3}) = 2 \cdot e^{- 1 \cdot - 2} + e^{- 3 (- \frac{2}{3})}$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f' (- \frac{2}{3}) = 2 \cdot e^{2} + e^{- 3 (- \frac{2}{3})}$

Paso 5.2.1.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{3}$ al numerador.

$f' (- \frac{2}{3}) = 2 e^{2} + e^{- 3 (\frac{- 2}{3})}$

Paso 5.2.1.5.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$f' (- \frac{2}{3}) = 2 e^{2} + e^{3 (- 1) (\frac{- 2}{3})}$

Paso 5.2.1.5.3

Cancela el factor común.

$f' (- \frac{2}{3}) = 2 e^{2} + e^{3 \cdot (- 1 (\frac{- 2}{3}))}$

Paso 5.2.1.5.4

Reescribe la expresión.

$f' (- \frac{2}{3}) = 2 e^{2} + e^{- 1 \cdot - 2}$

Paso 5.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f' (- \frac{2}{3}) = 2 e^{2} + e^{2}$

Paso 5.2.2

Suma $2 e^{2}$ y $e^{2}$ .

$f' (- \frac{2}{3}) = 3 e^{2}$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $3 e^{2}$ .

$3 e^{2}$

Paso 5.3

En $x = - \frac{2}{3}$ la derivada es $3 e^{2}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, \frac{1}{3})$ .

Incremento en $(- \infty, \frac{1}{3})$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{1}{3}, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{4}{3}$ en la expresión.

$f' (\frac{4}{3}) = - 3 (\frac{4}{3}) \cdot e^{- 3 (\frac{4}{3})} + e^{- 3 (\frac{4}{3})}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.1.1.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$f' (\frac{4}{3}) = 3 (- 1) (\frac{4}{3}) \cdot e^{- 3 (\frac{4}{3})} + e^{- 3 (\frac{4}{3})}$

Paso 6.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{4}{3}) = 3 \cdot (- 1 (\frac{4}{3})) \cdot e^{- 3 (\frac{4}{3})} + e^{- 3 (\frac{4}{3})}$

Paso 6.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{4}{3}) = - 1 \cdot 4 \cdot e^{- 3 (\frac{4}{3})} + e^{- 3 (\frac{4}{3})}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f' (\frac{4}{3}) = - 4 \cdot e^{- 3 (\frac{4}{3})} + e^{- 3 (\frac{4}{3})}$

Paso 6.2.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.1.3.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$f' (\frac{4}{3}) = - 4 \cdot e^{3 (- 1) (\frac{4}{3})} + e^{- 3 (\frac{4}{3})}$

Paso 6.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{4}{3}) = - 4 \cdot e^{3 \cdot (- 1 (\frac{4}{3}))} + e^{- 3 (\frac{4}{3})}$

Paso 6.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{4}{3}) = - 4 \cdot e^{- 1 \cdot 4} + e^{- 3 (\frac{4}{3})}$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f' (\frac{4}{3}) = - 4 \cdot e^{- 4} + e^{- 3 (\frac{4}{3})}$

Paso 6.2.1.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (\frac{4}{3}) = - 4 \cdot \frac{1}{e^{4}} + e^{- 3 (\frac{4}{3})}$

Paso 6.2.1.6

Combina $- 4$ y $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f' (\frac{4}{3}) = \frac{- 4}{e^{4}} + e^{- 3 (\frac{4}{3})}$

Paso 6.2.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (\frac{4}{3}) = - \frac{4}{e^{4}} + e^{- 3 (\frac{4}{3})}$

Paso 6.2.1.8

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.1.8.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$f' (\frac{4}{3}) = - \frac{4}{e^{4}} + e^{3 (- 1) (\frac{4}{3})}$

Paso 6.2.1.8.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{4}{3}) = - \frac{4}{e^{4}} + e^{3 \cdot (- 1 (\frac{4}{3}))}$

Paso 6.2.1.8.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{4}{3}) = - \frac{4}{e^{4}} + e^{- 1 \cdot 4}$

Paso 6.2.1.9

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f' (\frac{4}{3}) = - \frac{4}{e^{4}} + e^{- 4}$

Paso 6.2.1.10

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (\frac{4}{3}) = - \frac{4}{e^{4}} + \frac{1}{e^{4}}$

Paso 6.2.2

Combina fracciones.

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Paso 6.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{4}{3}) = \frac{- 4 + 1}{e^{4}}$

Paso 6.2.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.2.2.1

Suma $- 4$ y $1$ .

$f' (\frac{4}{3}) = \frac{- 3}{e^{4}}$

Paso 6.2.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (\frac{4}{3}) = - \frac{3}{e^{4}}$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- \frac{3}{e^{4}}$ .

$- \frac{3}{e^{4}}$

Paso 6.3

En $x = \frac{4}{3}$ la derivada es $- \frac{3}{e^{4}}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(\frac{1}{3}, \infty)$ .

Decrecimiento en $(\frac{1}{3}, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, \frac{1}{3})$

Decrecimiento en: $(\frac{1}{3}, \infty)$

Paso 8