Cálculo Ejemplos

$f (x) = x - x^{- 1}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - x^{- 1}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{- 1}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$1 - - x^{- 2}$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 + 1 x^{- 2}$

Paso 1.1.2.4

Multiplica $x^{- 2}$ por $1$ .

$1 + x^{- 2}$

Paso 1.1.3

Reordena los términos.

$f' (x) = x^{- 2} + 1$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $x^{- 2} + 1$ .

$x^{- 2} + 1$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $x^{- 2} + 1 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$x^{- 2} + 1 = 0$

Paso 2.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Paso 2.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{x^{2}} = - 1$

Paso 2.4

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.4.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{2}, 1$

Paso 2.4.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{2}$

Paso 2.5

Multiplica cada término en $\frac{1}{x^{2}} = - 1$ por $x^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.5.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{x^{2}} = - 1$ por $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Paso 2.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Paso 2.5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$1 = - x^{2}$

Paso 2.6

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.6.1

Reescribe la ecuación como $- x^{2} = 1$ .

$- x^{2} = 1$

Paso 2.6.2

Divide cada término en $- x^{2} = 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.6.2.1

Divide cada término en $- x^{2} = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Paso 2.6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.6.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Paso 2.6.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{- 1}$

Paso 2.6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.6.2.3.1

Divide $1$ por $- 1$ .

$x^{2} = - 1$

Paso 2.6.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Paso 2.6.4

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Paso 2.6.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.6.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i$

Paso 2.6.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i$

Paso 2.6.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i, - i$

Paso 3

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos

Paso 4

Establece la base en $x^{- 2}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 5

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = x^{- 2} + 1$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = x - x^{- 1}$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = {(- 1)}^{- 2} + 1$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{{(- 1)}^{2}} + 1$

Paso 6.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{1} + 1$

Paso 6.2.1.3

Divide $1$ por $1$ .

$f' (- 1) = 1 + 1$

Paso 6.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$f' (- 1) = 2$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 6.3

En $x = - 1$ la derivada es $2$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, 0)$ .

Incremento en $(- \infty, 0)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = {(1)}^{- 2} + 1$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = 1 + 1$

Paso 7.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$f' (1) = 2$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 7.3

En $x = 1$ la derivada es $2$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(0, \infty)$ .

Incremento en $(0, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, 0), (0, \infty)$

Paso 9