Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} + 5 x^{2}$ , $[0, 3]$

Paso 1

Si $f$ es continua en el intervalo $[a, b]$ y diferenciable en $(a, b)$ , entonces existe al menos un número real $c$ en el intervalo $(a, b)$ tal que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . El teorema del valor medio expresa la relación entre la pendiente de la tangente a la curva en $x = c$ y la pendiente de la línea que pasa por los puntos $(a, f (a))$ y $(b, f (b))$ .

Si $f (x)$ es continua en $[a, b]$

y si $f (x)$ es diferenciable en $(a, b)$ ,

existe al menos un punto, $c$ en $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Paso 2

Comprueba si $f (x) = x^{3} + 5 x^{2}$ es continua.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 2.2

$f (x)$ es continua en $[0, 3]$ .

La función es continua.

Paso 3

Obtén la derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (5 x^{2})$

Paso 3.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (5 x^{2})$

Paso 3.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 5 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 3.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 5 (2 x)$

Paso 3.1.2.3

Multiplica $2$ por $5$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 10 x$

Paso 3.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 x^{2} + 10 x$ .

$3 x^{2} + 10 x$

Paso 4

Obtén si la derivada es continua en $(0, 3)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4.2

$f' (x)$ es continua en $(0, 3)$ .

La función es continua.

Paso 5

La función es diferenciable en $(0, 3)$ porque la derivada es continua en $(0, 3)$ .

La función es diferenciable.

Paso 6

$f (x)$ satisface las dos condiciones del teorema del valor medio. Es continuo en $[0, 3]$ y diferenciable en $(0, 3)$ .

$f (x)$ es continua en $[0, 3]$ y diferenciable en $(0, 3)$ .

Paso 7

Evalúa $f (a)$ del intervalo $[0, 3]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = {(0)}^{3} + 5 {(0)}^{2}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 + 5 {(0)}^{2}$

Paso 7.2.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 + 5 \cdot 0$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $5$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Paso 7.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 8

Evalúa $f (b)$ del intervalo $[0, 3]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = {(3)}^{3} + 5 {(3)}^{2}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (3) = 27 + 5 {(3)}^{2}$

Paso 8.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (3) = 27 + 5 \cdot 9$

Paso 8.2.1.3

Multiplica $5$ por $9$ .

$f (3) = 27 + 45$

Paso 8.2.2

Suma $27$ y $45$ .

$f (3) = 72$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $72$ .

$72$

Paso 9

Resuelve $3 x^{2} + 10 x = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ en $x$ . $3 x^{2} + 10 x = \frac{- (f (3) + f (0))}{- (3 + 0)}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Simplifica $\frac{(72) - (0)}{(3) - (0)}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$3 x^{2} + 10 x = \frac{72 + 0}{3 - (0)}$

Paso 9.1.1.2

Suma $72$ y $0$ .

$3 x^{2} + 10 x = \frac{72}{3 - (0)}$

Paso 9.1.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$3 x^{2} + 10 x = \frac{72}{3 + 0}$

Paso 9.1.2.2

Suma $3$ y $0$ .

$3 x^{2} + 10 x = \frac{72}{3}$

Paso 9.1.3

Divide $72$ por $3$ .

$3 x^{2} + 10 x = 24$

Paso 9.2

Resta $24$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} + 10 x - 24 = 0$

Paso 9.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 9.4

Sustituye los valores $a = 3$ , $b = 10$ y $c = - 24$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 24)}}{2 \cdot 3}$

Paso 9.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.5.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.5.1.1

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

Paso 9.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot - 24$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

Paso 9.5.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $- 24$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 288}}{2 \cdot 3}$

Paso 9.5.1.3

Suma $100$ y $288$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{388}}{2 \cdot 3}$

Paso 9.5.1.4

Reescribe $388$ como $2^{2} \cdot 97$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.5.1.4.1

Factoriza $4$ de $388$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (97)}}{2 \cdot 3}$

Paso 9.5.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 97}}{2 \cdot 3}$

Paso 9.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{2 \cdot 3}$

Paso 9.5.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$

Paso 9.5.3

Simplifica $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{97}}{3}$

Paso 9.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.6.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.6.1.1

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

Paso 9.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot - 24$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

Paso 9.6.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $- 24$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 288}}{2 \cdot 3}$

Paso 9.6.1.3

Suma $100$ y $288$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{388}}{2 \cdot 3}$

Paso 9.6.1.4

Reescribe $388$ como $2^{2} \cdot 97$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.6.1.4.1

Factoriza $4$ de $388$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (97)}}{2 \cdot 3}$

Paso 9.6.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 97}}{2 \cdot 3}$

Paso 9.6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{2 \cdot 3}$

Paso 9.6.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$

Paso 9.6.3

Simplifica $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{97}}{3}$

Paso 9.6.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 5 + \sqrt{97}}{3}$

Paso 9.6.5

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 + \sqrt{97}}{3}$

Paso 9.6.6

Factoriza $- 1$ de $\sqrt{97}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - 1 (- \sqrt{97})}{3}$

Paso 9.6.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (5) - 1 (- \sqrt{97})$ .

$x = \frac{- 1 (5 - \sqrt{97})}{3}$

Paso 9.6.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{5 - \sqrt{97}}{3}$

Paso 9.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.7.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.7.1.1

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

Paso 9.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot - 24$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

Paso 9.7.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $- 24$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 288}}{2 \cdot 3}$

Paso 9.7.1.3

Suma $100$ y $288$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{388}}{2 \cdot 3}$

Paso 9.7.1.4

Reescribe $388$ como $2^{2} \cdot 97$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.7.1.4.1

Factoriza $4$ de $388$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (97)}}{2 \cdot 3}$

Paso 9.7.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 97}}{2 \cdot 3}$

Paso 9.7.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{2 \cdot 3}$

Paso 9.7.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$

Paso 9.7.3

Simplifica $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{97}}{3}$

Paso 9.7.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 5 - \sqrt{97}}{3}$

Paso 9.7.5

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - \sqrt{97}}{3}$

Paso 9.7.6

Factoriza $- 1$ de $- \sqrt{97}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (\sqrt{97})}{3}$

Paso 9.7.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (5) - (\sqrt{97})$ .

$x = \frac{- 1 (5 + \sqrt{97})}{3}$

Paso 9.7.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{5 + \sqrt{97}}{3}$

Paso 9.8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{5 - \sqrt{97}}{3}, - \frac{5 + \sqrt{97}}{3}$

Paso 10

Se halla una tangente en $x = - \frac{5 - \sqrt{97}}{3}$ paralela a la línea que pasa por los extremos $a = 0$ y $b = 3$ .

Hay una tangente en $x = - \frac{5 - \sqrt{97}}{3}$ paralela a la línea que pasa por los extremos $a = 0$ y $b = 3$ .

Paso 11

Se halla una tangente en $x = - \frac{5 + \sqrt{97}}{3}$ paralela a la línea que pasa por los extremos $a = 0$ y $b = 3$ .

Hay una tangente en $x = - \frac{5 + \sqrt{97}}{3}$ paralela a la línea que pasa por los extremos $a = 0$ y $b = 3$ .

Paso 12