Cálculo Ejemplos

$f (x) = x (x - 1)$ ; $[2, 5]$

Paso 1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 2

$f (x)$ es continua en $[2, 5]$ .

$f (x)$ es continua

Paso 3

El valor promedio de una función $f$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 4

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} x (x - 1) d x)$

Paso 5

Multiplica $x (x - 1)$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} x \cdot x + x \cdot - 1 d x)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} x^{1 + 1} + x \cdot - 1 d x)$

Paso 6.2

Suma $1$ y $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} x^{2} + x \cdot - 1 d x)$

Paso 6.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} x^{2} - 1 \cdot x d x)$

Paso 6.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} x^{2} - x d x)$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} x^{2} d x + \int_{2}^{5} - x d x)$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{5} + \int_{2}^{5} - x d x)$

Paso 9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{5} - \int_{2}^{5} x d x)$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{5} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{5}))$

Paso 11

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{5} - (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5}))$

Paso 11.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 11.2.1

Evalúa $\frac{1}{3} x^{3}$ en $5$ y en $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5}))$

Paso 11.2.2

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $5$ y en $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{3} \cdot 5^{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Paso 11.2.3

Simplifica.

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Paso 11.2.3.1

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Paso 11.2.3.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $125$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Paso 11.2.3.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 8 - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Paso 11.2.3.4

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} - 8 (\frac{1}{3}) - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Paso 11.2.3.5

Combina $- 8$ y $\frac{1}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} + \frac{- 8}{3} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Paso 11.2.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} - \frac{8}{3} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Paso 11.2.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125 - 8}{3} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Paso 11.2.3.8

Resta $8$ de $125$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{117}{3} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Paso 11.2.3.9

Cancela el factor común de $117$ y $3$ .

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Paso 11.2.3.9.1

Factoriza $3$ de $117$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{3 \cdot 39}{3} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Paso 11.2.3.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.2.3.9.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{3 \cdot 39}{3 (1)} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Paso 11.2.3.9.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{3 \cdot 39}{3 \cdot 1} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Paso 11.2.3.9.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{39}{1} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Paso 11.2.3.9.2.4

Divide $39$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Paso 11.2.3.10

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Paso 11.2.3.11

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} - \frac{4}{2}))$

Paso 11.2.3.12

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 11.2.3.12.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}))$

Paso 11.2.3.12.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.2.3.12.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}))$

Paso 11.2.3.12.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}))$

Paso 11.2.3.12.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} - \frac{2}{1}))$

Paso 11.2.3.12.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} - 1 \cdot 2))$

Paso 11.2.3.13

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} - 2))$

Paso 11.2.3.14

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}))$

Paso 11.2.3.15

Combina $- 2$ y $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}))$

Paso 11.2.3.16

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - \frac{25 - 2 \cdot 2}{2})$

Paso 11.2.3.17

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.3.17.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - \frac{25 - 4}{2})$

Paso 11.2.3.17.2

Resta $4$ de $25$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - \frac{21}{2})$

Paso 11.2.3.18

Para escribir $39$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 \cdot \frac{2}{2} - \frac{21}{2})$

Paso 11.2.3.19

Combina $39$ y $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{39 \cdot 2}{2} - \frac{21}{2})$

Paso 11.2.3.20

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{39 \cdot 2 - 21}{2})$

Paso 11.2.3.21

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.3.21.1

Multiplica $39$ por $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{78 - 21}{2})$

Paso 11.2.3.21.2

Resta $21$ de $78$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{57}{2})$

Paso 12

Resta $2$ de $5$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{57}{2}$

Paso 13

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 13.1

Factoriza $3$ de $57$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 (19)}{2}$

Paso 13.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 19}{2}$

Paso 13.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{19}{2}$

Paso 14