Cálculo Ejemplos

$f (x) = - \cos (x)$ ; $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

Paso 1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 2

$f (x)$ es continua en $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ .

$f (x)$ es continua

Paso 3

El valor promedio de una función $f$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 4

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x)$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x)$

Paso 6

La integral de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $\sin (x)$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (\sin (x)]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}))$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Evalúa $\sin (x)$ en $\frac{π}{2}$ y en $- \frac{π}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})))$

Paso 7.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 - \sin (- \frac{π}{2})))$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 - \sin (\frac{3 π}{2})))$

Paso 7.3.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 + \sin (\frac{π}{2})))$

Paso 7.3.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 - (- 1 \cdot 1)))$

Paso 7.3.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 + 1))$

Paso 7.3.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 + 1))$

Paso 7.3.6

Suma $1$ y $1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- 1 \cdot 2)$

Paso 7.3.7

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- 2)$

Paso 8

Simplifica el denominador.

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Paso 8.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π + π}{2}} \cdot - 2$

Paso 8.2

Reescribe $\frac{π + π}{2}$ en forma factorizada.

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Paso 8.2.1

Suma $π$ y $π$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{2 π}{2}} \cdot - 2$

Paso 8.2.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 8.2.2.1

Reduce la expresión $\frac{2 π}{2}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 8.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{\frac{2 π}{2}} \cdot - 2$

Paso 8.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{1}} \cdot - 2$

Paso 8.2.2.2

Divide $π$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{π} \cdot - 2$

Paso 9

Combina fracciones.

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Paso 9.1

Combina $\frac{1}{π}$ y $- 2$ .

$A (x) = \frac{- 2}{π}$

Paso 9.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$A (x) = - \frac{2}{π}$

Paso 10