Cálculo Ejemplos

$(3 \sqrt{2}, \frac{π}{4})$

Paso 1

Usa las fórmulas de conversión para convertir de coordenadas polares a coordenadas rectangulares.

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

Paso 2

Sustituye los valores conocidos de $r = 3 \sqrt{2}$ y $θ = \frac{π}{4}$ en las fórmulas.

$x = (3 \sqrt{2}) \cos (\frac{π}{4})$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 3 \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 4

Multiplica $3 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 4.1

Combina $\frac{\sqrt{2}}{2}$ y $3$ .

$x = \frac{\sqrt{2} \cdot 3}{2} \cdot \sqrt{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 4.2

Combina $\frac{\sqrt{2} \cdot 3}{2}$ y $\sqrt{2}$ .

$x = \frac{\sqrt{2} \cdot (3 \sqrt{2})}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 4.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \frac{3 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 4.4

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \frac{3 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \frac{3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 4.6

Suma $1$ y $1$ .

$x = \frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

$x = \frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 5

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \frac{3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.4.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 5.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \frac{3 \cdot 2}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

$x = \frac{3 \cdot 2}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 5.5

Evalúa el exponente.

$x = \frac{3 \cdot 2}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

$x = \frac{3 \cdot 2}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 6

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{6}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 6.2

Divide $6$ por $2$ .

$x = 3$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

$x = 3$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Paso 7

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 3$

$y = 3 \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 8

Multiplica $3 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 8.1

Combina $\frac{\sqrt{2}}{2}$ y $3$ .

$x = 3$

$y = \frac{\sqrt{2} \cdot 3}{2} \cdot \sqrt{2}$

Paso 8.2

Combina $\frac{\sqrt{2} \cdot 3}{2}$ y $\sqrt{2}$ .

$x = 3$

$y = \frac{\sqrt{2} \cdot (3 \sqrt{2})}{2}$

Paso 8.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = 3$

$y = \frac{3 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2}$

Paso 8.4

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = 3$

$y = \frac{3 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2}$

Paso 8.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = 3$

$y = \frac{3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}$

Paso 8.6

Suma $1$ y $1$ .

$x = 3$

$y = \frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{2}$

$x = 3$

$y = \frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{2}$

Paso 9

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = 3$

$y = \frac{3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Paso 9.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 3$

$y = \frac{3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Paso 9.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = 3$

$y = \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Paso 9.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.4.1

Cancela el factor común.

$x = 3$

$y = \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Paso 9.4.2

Reescribe la expresión.

$x = 3$

$y = \frac{3 \cdot 2}{2}$

$x = 3$

$y = \frac{3 \cdot 2}{2}$

Paso 9.5

Evalúa el exponente.

$x = 3$

$y = \frac{3 \cdot 2}{2}$

$x = 3$

$y = \frac{3 \cdot 2}{2}$

Paso 10

Simplifica la expresión.

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Paso 10.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = 3$

$y = \frac{6}{2}$

Paso 10.2

Divide $6$ por $2$ .

$x = 3$

$y = 3$

$x = 3$

$y = 3$

Paso 11

La representación rectangular del punto polar $(3 \sqrt{2}, \frac{π}{4})$ es $(3, 3)$ .

$(3, 3)$