Cálculo Ejemplos

$f (x) = e^{x} - x$ , $- 2 \leq x \leq 2$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} - \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{x} - 1 \cdot 1$

Paso 1.1.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = e^{x} - 1$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $e^{x} - 1$ .

$e^{x} - 1$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $e^{x} - 1 = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$e^{x} - 1 = 0$

Paso 1.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$e^{x} = 1$

Paso 1.2.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

Paso 1.2.4

Expande el lado izquierdo.

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Paso 1.2.4.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (1)$

Paso 1.2.4.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (1)$

Paso 1.2.4.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (1)$

Paso 1.2.5

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $e^{x} - x$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$e^{0} - (0)$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$1 - (0)$

Paso 1.4.1.2.2

Resta $0$ de $1$ .

$1$

Paso 1.4.2

Enumera todos los puntos.

$(0, 1)$

Paso 2

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 2.1

Evalúa en $x = - 2$ .

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Paso 2.1.1

Sustituye $- 2$ por $x$ .

$e^{- 2} - (- 2)$

Paso 2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{2}} - (- 2)$

Paso 2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{1}{e^{2}} + 2$

Paso 2.2

Evalúa en $x = 2$ .

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Paso 2.2.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$e^{2} - (2)$

Paso 2.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$e^{2} - 2$

Paso 2.3

Enumera todos los puntos.

$(- 2, \frac{1}{e^{2}} + 2), (2, e^{2} - 2)$

Paso 3

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(2, e^{2} - 2)$

Mínimo absoluto: $(0, 1)$

Paso 4